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Points isolés, points d'accumulation



  1. #1
    mickey71

    Points isolés, points d'accumulation

    Bonjour,
    Je dois montrer que les points isolés de A={1/n+1/m, n,mappartenant à N*} est l'ensemble A\{1/n, n appartenant à N*} ou alors que les points d'accumulation de A sont {0}U{1/n, n appartenant à N*} et je n'y arrive pas, je ne vois pas comment faire.
    Un seul suffit car on a A=is(A)Uacc(A), donc si on a l'un on obtient l'autre.
    Merci pour votre aide

    -----


  2. #2
    homotopie

    Re : Points isolés, points d'accumulation

    Attention 0 n'est pas dans A.
    Soit une suite de A uk=1/nk+1/mk converge vers un élément de A u=1/n+1/m,
    a) une des deux suites (nk) et (mk) ne converge pas vers +infini (sinon uk tend vers 0), on peut donc extraire une sous-suite bornée de (nk) ou de (mk) que l'on peut supposer (nk') par raison de symétrie. (k-<k' strictement croissante)
    b) montrer que l'on peut alors extraire une sous-suite constante de (nk') (nk") (k->k' et k'-> strictement croissantes)
    c) montrer que (mk") est soit constante (et alors uk" est constante ce qui est exclu les éléments de uk sont censés être distincts de u) soit tend vers +infini et alors u=1/nk".

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