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Dm de maths: polynome (1S)



  1. #1
    af4ever

    Dm de maths: polynome (1S)


    ------

    Bonjour a tous,
    Voila, je suis coincé sur ce probleme:

    1)Determiner le polynome P de degre 3 tel que pour tout reel x, P(x+1)-P(x)=x^2
    et P(1)=0
    2)Demontrer que pour tout entier n>=1 , 1^2+2^2+......+n^2=P(n+1)
    3)En deduire que 1^2+2^2+.....+n^2=[n(n+1)(2n+1)]/6
    4)Applications: Calculer la somme des carres des 10 et 100 premiers entiers superieurs ou egaux a 1.

    ****************************** *********************

    1) Je commence donc par faire:
    P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
    P(x+1)=a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1 )+d

    On a: P(x+1)-P(x)=x^2
    D'où P(x+1)-P(x)-x^2=0


    Le probleme, c'est que je ne sais pas trop comment je dois chercher pour répondre a la question, donc arretez moi si c'est faux.

    Je dévelloppe le tout, ce qui me donne:
    ax^3+3x^2a+3xa+a+bx^2+bx+b+cx+ c+d-ax^3-bx^2-cx-d=0
    et la je ne sais plus quoi faire....


    ****************************** ********************
    Si vous pouviez m'aider, merci d'avance
    a+

    -----

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  3. #2
    Superdumas

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Elimine les trucs que tu peux éliminer (genre ax3 -ax3 ), regroupe les termes de même degré et on y verra plus clair.

    Sinon, oublie pas que a est différent de 0 (au cas où)

  4. #3
    af4ever

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    En regroupant les termes du même dgré, on a:
    3x^2a-x^2+3xa+bx+a+b+c=0
    (Si je ne me suis pas trompé... pouvez vous verifier svp)
    Ensuite, qu'est ce que je dois faire?

  5. #4
    moijdikssékool

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    t'identifie ton polynome avec 0*x²+0*x+0

  6. #5
    Père Occide

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Salut.
    Deux définitions :
    1°. Un polynôme est nul quand tous ses coefficients sont nuls. Il est noté 0.
    2°. Deux polynômes sont égaux quand tous les coefficients des termes de même degré le sont.
    Réduis pour commencer le polynôme que tu as obtenu et fais apparaître les coefficients de façon claire. A toi la suite.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    af4ever

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Salut,
    Merci beaucoup, mais je ne vois pas comment le reduire.....
    Si vous pouviez m'aider, merci d'avance
    (on vient de commencer le chapitre, donc....)

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  10. #7
    IceDL

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Salut,

    Je pense que dans ta formule il te manque un bx :
    quand tu développe b(x+1)²=bx²+2bx+b (tu as écrit "bx²+bx+b")

    Voilà ça devrait t'avancer,

    @+

  11. #8
    moijdikssékool

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    et si possible écrit 3a*x^2 plutot que 3*x^2a

  12. #9
    Superdumas

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Déjà c'est pas égal à 0 P (x+1) - P(x), mais à x2 ...
    Quand je dis "regrouper", c'est mettre en facteur (genre 3ax^2 - x^2 = x^2(3a-1), si tu ne t'es pas trompé dans les calculs).

    D'ailleurs, tu sais que 3a - 1 = 1 (en effet, la différence de P(x+1) et P(x) donne le polynôme 1*x^2) donc a = 2/3. Et puis pour les autres coeff : 3a + b = 0 <=> 2+b = 0 <=> b = -2.

    et puis a + b + c = 0 et je crois que tu peux le faire tout seul (si tu as compris).

  13. #10
    af4ever

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Salut,
    Merci beaucoup a tous pour vos réponses (pour le 2bx, je me suis trompe en recopiant, mais j ai bien mi 2bx sur ma feuille..
    Encore merci a tous
    a+

  14. #11
    af4ever

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Salut,
    Il y a quand même deux choses que je ne comprends pas:
    -La difference, enfin..., comment savoir que 3a-1=1
    -Pour trouver b: en factorisant 3ax+2bx, on a: x(3a+2b)
    Et la, comment arriver a b=-2??? on fait:
    3a+2b=0
    donc 1+2b=0
    donc 1=-2b
    donc 1/b=-2 non????
    Merci d'avance
    a+

  15. #12
    af4ever

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Voila, j ai revu mes reponses, et ca me donne:
    a=1/3; b=-1/2; c=1/6; d=0
    Ca a l'air de marcher de toute facon, merci encore
    a+

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  17. #13
    af4ever

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Une qst, quand on demande de determiner le polynome P de degre 3 tel que pour tout x, P(x+1)-P(x)=x^2 et P(1)=0
    Qu'est ce que l'on met comme reponse?
    a la fin, j'ai: x^2(3a-1)+x(3a+2b)+a+b+c=0
    avec a=1/3; b=-1/2; c=1/6
    et avec P(1)=0, j'ai: 1/3x^3-1/2x^2+1/6x+d=0
    donc d=0
    Le polynome P que l'on doit determiner c'est lequel?
    Merci d'avance
    PS: Une petite astuce pour la question 2 aussi svp

  18. #14
    Père Occide

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Bonsoir.
    Quand tu écrit P(1) = 0, quelle est la lettre qui est remplacée par 1 ? Reprends donc l'expression de P(1).
    Petite remarque ans l'énoncé de départ, "déterminer LE polynôme...", on devrait dire en fait "LES polynômes", car la valeur de d ne joue aucun rôle : d peut être quelconque. Il y a donc autant de polynômes solutions que de valeurs de d : une infinité. En revanche, le fait d'ajouter la nécessité P(1) = 0 donne à d une valeur précise et unique que tu as trouvée, 0.
    Tu as les valeurs des 4 coefficients de P, tu peux donc l'écrire.
    Pour la question 2, calcule P(1) - P(0), P(2) - P(1),...Puis conclue.

  19. #15
    af4ever

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Bonjour,
    Désolé, mais je ne comprend tjs pas comment demontrer.
    A quoi cela mene?
    Merci d'avance
    a+

  20. #16
    danza07

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    et comment as tu fais pour la suite ??,
    question 2??,
    car j'ai le même type d'exo que toi sauf que c'est un polynome du degré 2 et je dois écrire l'égalité avec x=1 x=2 etx=n ... etc etc et je ne sais pas trop comment faire ,??
    après on me demande d'en déduire la somme S1 =1 +2 +... +n

    (si tu sais quelques chose dis le moi merci)

  21. #17
    af4ever

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Salut,
    Dsl, mais pour la question 2, je ne sais pas trop comment m'y prendre pour demontrer...
    2)Demontrer que pour tout entier n>=1 , 1^2+2^2+......+n^2=P(n+1)
    Merci d'avance

  22. #18
    nissart7831

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Citation Envoyé par af4ever
    Une qst, quand on demande de determiner le polynome P de degre 3 tel que pour tout x, P(x+1)-P(x)=x^2 et P(1)=0
    Qu'est ce que l'on met comme reponse?
    a la fin, j'ai: x^2(3a-1)+x(3a+2b)+a+b+c=0
    avec a=1/3; b=-1/2; c=1/6
    et avec P(1)=0, j'ai: 1/3x^3-1/2x^2+1/6x+d=0
    donc d=0
    Le polynome P que l'on doit determiner c'est lequel?
    Merci d'avance
    PS: Une petite astuce pour la question 2 aussi svp
    Tu as trouvé que les polynômes P de degré 3 qui vérifiaient la relation :

    étaient de la forme
    En tenant compte de la contrainte supplémentaire P(1)=0, on obtient (en remplacant X par 1):
    qui doit être égal à 0
    donc d=0.

    Ainsi, pour conclure, LE polynôme P de degré 3 qui verifie la relation et la contrainte P(1) = 0 est :

    et il est unique (c'est le seul qui vérifie les deux relations) d'où le "LE".

    Pour la question 2), exprime tous les pour X valant 1,2,...n, sans calculer la valeur du polynôme en ces points là.
    Tu devrais alors pouvoir conclure (en cas, s'inspirer des indications de la discussion "déterminer un polynome ...")

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  24. #19
    Superdumas

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Pour la question 2, une preuve par récurrence s'impose, je pense (mais je crois pas que ce soit au programme officiel de première).

  25. #20
    lezebulon

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Nan la récurrence c'est le 1er chapitre de Tle... par contre je vois pas trop comment démontrer ça sans récurrences...

  26. #21
    nissart7831

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Il n'y a pas besoin de récurrence. Il suffit de suivre ce que j'ai dit dans le message 18.

  27. #22
    Superdumas

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Ah oui je vois. Mais pour être rigoureux, faudrait faire avec des sigma et changer de variable .

  28. #23
    nissart7831

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    Exactement.

  29. #24
    clide

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    quest 2 :
    p(x+1)-p(x)=x² s'écrit pour x=1,2,...,n :

    p(2)-p(1)=1²
    p(3)-p(2)=2²
    ....
    p(n+1)-p(n)=n²

    en additionnant verticalement, d'un côté tu as 1²+...+n² et de l'autre p(n+1)-p(1) car les termes répétés s'éliminent 2 à 2.
    mais p(1)=0 d'où le résultat.

    quest 3 :
    p(x) peut se factoriser : p(x)=x/6 [2x²-3x+1] ,
    les racines 1 et 1/2 donnent (x-1) et (x-1/2) comme facteurs.
    finalement p(x)= x(x-1)(2x-1)/6
    on en tire vite : p(n+1)=n(n+1)(2n+1)/6

    quest 4 :
    1²+...+10²=10 X 11 X 21 / 6 = ...
    et 1²+...+100² = ... que je te laisse faire.

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  31. #25
    Manky

    Re : Dm de maths: polynome (1S)

    HELP!! j'ai cet exercice aussi
    mais je ne comprends pas comment trouver le a
    d'où il sort le 3a-1=1 ??

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