Bonjour à tous,

J'envoie un petit problème qui me laisse bien perplexe, et que je soumets à votre sagacité. Il s'agit d'un problème d'analyse convexe, qui pourrait bien ressembler à une utilisation intelligente du théorème de séparation des convexes (Hahn Banach) mais j'ai peur que ce soit trop intelligent pour moi ...

Soit une fonction f : (x,y) -> f(x,y) définie sur l'ensemble , où X et Y sont deux ensembles convexes (dimension finie ou pas, je ne pense pas que ça va changer grand chose de toute façon).

Je suppose de plus que l'application f(., y) -> f(x,y) est concave pour tout y dans Y, et que f(x,.) est convexe pour tout x.

Alors j'ai envie de savoir si


Evidemment, l'inégalité est vraie, donc il n'y a qu'un seul sens difficile.

Ce résultat est peut -être faux énoncer ainsi.
A mon avis, il faut supposer au moins qu'il existe un a dans X tel que

Sinon on peut avoir des problèmes avec le membre de gauche toujours infini et le membre de droite fini.

En plus, je ne sais pas si ça sert, mais je peux même supposer que X est compact pour l'application que j'ai en tête.

Si vous avez des idées (contre-exemples ou début de preuve voire preuve) ou des références, ça m'intéresse.

NB : Cela ne m'étonnerait pas que ce résultat soit vrai, mais comme souvent en analyse convexe, les résultats semblent souvent un peu mystérieux, même quand on connaît la preuve, cf par exemple le très joli théorème de Fenchel-Rockafellar.

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rvz