Démonstration suites et séries

[invite3014c89c]

Bonjour pouvez-vous m'aider s'il vous plaît, j'ai un problème avec cet exercice :

Le but de l'exercice est de démontrer que pour tout n € Z il existe (p,q) € Z² tel que (√2+1)ⁿ=p+q√2.

Prouver que pour tout n € N on a (p,q) € N², (p1,q1) € Z² tels que

1) (√2+1)ⁿ=p+q√2 ; (√2-1)ⁿ=p1+q1√2

J'ai utilisé la récurrence et je suis tombé sur (pour le premier) : (√2+1)^n+1=p+q√2+p√2+2q...

2) Montrer que ∀ n € Z, (√2+1)ⁿ=(√2-1)-ⁿ

3) Conclure.

Merci de votre aide !
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[invite6cf1de63]

J'ai utilisé la récurrence et je suis tombé sur (pour le premier) : (√2+1)^n+1=p+q√2+p√2+2q...

Il suffit tout simplement de regrouper les termes ayant comme facteur commun :


Comment est le coefficient en et comment est la partie sans ce facteur ?

2) Montrer que ∀ n € Z, (√2+1)ⁿ=(√2-1)-ⁿ

Cela revient à montrer que

Deux possibilités :

* Montrer que et sont des nombres inverses...

* Ecrire l'expression de gauche sous la forme d'une fraction (en mettant au même dénominateur) et comparer les deux numérateurs.

[invited5b2473a]

En faisant leur produit, tu montres très rapidement qu'il vaut 1!

[invite3014c89c]

Merci pour vos réponses !

[A voir en vidéo sur Futura]