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Lim(la limite)de sinx/x=1




  1. #1
    boncerveau

    Unhappy Lim(la limite)de sinx/x=1

    bonjour tout le monde;
    Je vous demanderais de répondre a cette question:
    Comment on demontre la limite:lim sinx/x=1;a l'aide d'une cercle trigonométrique,!et merci d'avance:::

    -----


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  3. #2
    jinmu

    Re : Lim(la limite)de sinx/x=1;;;;;demonstration!!!

    Bonjour Boncerveau,


    Je ne sais pas le démontrer avec un cercle trigonométrique, mais avec la définition de la dérivée de sin(x) en 0, le résultat me semble immédiat. En effet:


  4. #3
    Jon83

    Re : Lim(la limite)de sinx/x=1;;;;;demonstration!!!

    Citation Envoyé par boncerveau Voir le message
    Comment on demontre la limite:lim sinx/x=1;a l'aide d'une cercle trigonométrique,!et merci d'avance:::
    Bonjour!
    Tu encadres l'aire du secteur angulaire définit par l'angle x par l'aire de deux triangles rectangles: un intérieur et un extérieur au secteur.
    Lorsque x tend vers 0, tu trouves ta limite!


  5. #4
    boncerveau

    Re : Lim(la limite)de sinx/x=1;;;;;demonstration!!!

    merci à tous.

  6. #5
    JLF78

    Re : Lim(la limite)de sinx/x=1;;;;;demonstration!!!

    En fait les deux démonstrations sont incorrectes.

    Celle de jinmu fait appel à la règle de l'Hopital en cas d'indétermination 0/0. Or la règle de l'Hopital utilise la dérivée de sin et pour trouver la dérivée de sin on a besoin de la lim sin x/x = 1.
    Donc on se mord méchamment la queue. Trop pour que ce soit recevable.


    La deuxième démonstration utilise les aires des trois triangles: celui de côtés sin x et cos x, celui bordé par l'arc circulaire (c'est un secteur plutôt qu'un triangle) et enfin celui de côtés tg x et 1 et donne l'inégalité suivante:
    trigo.jpg


    Aire 1er triangle (OAS) < Aire secteur (OAU)< Aire 2ème triangle (OTU).

    Ce qui donne en chassant le dénominateur 2!

    sin x * cos x < x < tg x

    On divise par sin x:

    cos x < x/sin x < 1/cos x


    x / sin x est bordé par deux fonctions qui tendent vers 1 et tend donc vers 1 quand x->0.

    Malheureusement si ce n'est pas full proof non plus, car dans cette démonstration on a posé que l'aire du secteur = (x*R2)/2 = x/2 car on a supposé que l'aire du cercle vaut Pi * R2. Or pour démontrer que l'aire du cercle vaut Pi R2 on a besoin des intégrales et donc des dérivées des fonctions trigonométriques. On se mord aussi la queue mais moins gravement car on sait depuis l'antiquité que la surface du cercle vaut Pi R2 même si cela n'a été démontré que beaucoup plus tard.


    Il me semble donc qu'en première approximation sans être 100% rigoureux cette démonstration est acceptable en 1ère.
    Dernière modification par JLF78 ; 16/02/2014 à 19h18.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : Lim(la limite)de sinx/x=1

    Bonsoir JLF78

    "Or pour démontrer que l'aire du cercle vaut Pi R2 on a besoin des intégrales "
    Non ! La démonstration d'Archimède a été faite 2 millénaires avant l'invention du calcul intégral. Et c'est une vraie preuve.

    Cordialement.

  9. #7
    breukin

    Re : Lim(la limite)de sinx/x=1

    La démonstration de jinmu est bonne.

    Rappel : par définition, pour tout nombre complexe, et , avec, toujours par définition , série absolument convergente, l'exponentielle complexe vérifiant , et donc pour tout nombre complexe.

    Donc est immédiat et ressort des définitions de ces fonctions.

    Et donc
    Dernière modification par breukin ; 17/02/2014 à 09h10.

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