Fraction rationnelle

**pizzouille** · 16/02/2014, 17h53

Bonsoir,

$\text{[math]}$ une fraction rationnelle.
P et Q sont des polynômes à coefficients réels.
On suppose :
- Q n'a pas de racines réelles
- deg (Q) >= deg (P) + 2
- toutes les racines de Q sont simples
- le coefficients du terme de plus haut degré de Q(x) = 1

Soient $\text{[math]}$ les racines complexes de P à partie imaginaire strictement positive

On veut montrer que
$\text{[math]}$

Voilà ce que j'ai :

$\text{[math]}$

Je fais une décomposition en éléments simples :

$\text{[math]}$

Je suis bloqué et je pense que par rapport à l'énoncé sa ne vas pas

Cordialement

**SchliesseB** · 16/02/2014, 18h00

Voici quelques questions qui devrait t'aider:

1) Q étant un polynôme réel qui ne possède que des racines complexes simples (non réelles), que dire de ces racines? d'ailleurs combien en a t'il vraiment? (la réponse n'est pas N comme tu l'as écrit)

2) décompose ensuite en éléments simples

3) par suite, P/Q est une fraction rationnelle réelle ce qui devrait te permettre de conclure.
Bonne chance.

**pizzouille** · 16/02/2014, 19h21

Pour la question 1) je ne vois pas et je ne trouve rien

**gg0** · 16/02/2014, 19h30

Bonsoir.

"Soient $\lambda_{1},...,\lambda_{N}$ les racines complexes de P à partie imaginaire strictement positive."

Théorème : Si r est une racine non réelle d'un polynôme P à coefficients réels, alors ...

Si tu n'as pas ce théorème dans ton cours, démontre le en écrivant P(r)=0 puis en prenant les conjugués des deux membres de cette égalité.

Ensuite, après avoir réfléchi au pourquoi de "partie imaginaire strictement positive", détermine quelles sont les racines de P, puis sa factorisation.

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**pizzouille** · 16/02/2014, 19h53

Si r est une racine non réelle d'un polynôme P à coefficients réels, alors son conjuguée l'est aussi

**SchliesseB** · 16/02/2014, 19h56

c'est exactement ce que dis gg0,

Tu peux t'aider du cas du cas d'un polynôme réel de degré deux. Dans ce cas, que se passe t-il si il n'a aucune racine réelle?

Edit: oui, tu as posté la réponse. Combien alors P a t-il de racines? Cela ne te permet pas t'avancer?

**pizzouille** · 16/02/2014, 20h41

Est ce que j'ai le droit de faire ceci :

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

**Médiat** · 16/02/2014, 20h42

Bonsoir,

Votre premier polynôme est de degré n et le deuxième de degré 2n ...

**SchliesseB** · 16/02/2014, 20h46

Comme le dit Médiat, vos deux polynômes ne peuvent être égaux car déjà pas de même degré. Néanmoins, le second polynôme est bien le bon

. Avez-vous bien compris pourquoi?

**pizzouille** · 16/02/2014, 20h46

SchliesseB : il y a exemple X² + 1 = (X - i) (X + i)

**SchliesseB** · 16/02/2014, 20h52

oui, c'est bien ça.

si le polynôme Q est un polynôme réel et si $\text{[math]}$

alors en passant au conjugué, $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ est aussi une racine de Q. Ceci te permet d'écrire le polynôme Q comme tu l'as fait.
A toi de continuer l'exercice avec les pistes que l'on t'as déjà données.

Bonne chance.

**pizzouille** · 16/02/2014, 20h56

Par contre je ne trouve rien sur le fait qu'une partie imaginaire soit strictement positive

**SchliesseB** · 16/02/2014, 21h01

il n'y a rien a prouver la dessus. Q, qui est de degré 2N, possèdent 2N valeurs propres distinctes et conjuguées deux à deux. On décide de noter $\text{[math]}$ celle qui sont de partie imaginaire positive, les autres étant les conjuguées.

**pizzouille** · 17/02/2014, 00h28

Par contre, j'ai une autre question, comment dois faire pour montrer que f est integrable

merci a l'avance

**SchliesseB** · 17/02/2014, 07h35

s'il faut juste montrer qu'elle est intégrable, tu sais quand même que Q n'a pas de racines réelles et que son degré est supérieur d'au moins deux unités à celui de P, ce qui devrait te permettre de conclure.
Si tu veux aussi calculer l'intégrale, la décomposition en éléments simples devrait t'aider.

Bonne chance

Fraction rationnelle