matrice symétrique

[titi07]

Bonsoir tous le monde,
j'ai une petite question,

on sait qu'une matrice A qui est symétrique, est toujours diagonalisable mais peut on dire qu'elle est toujours diagonalisable par une matrice orthogonale,...??

Merci
-----

[invited5b2473a]

oui en effet.

[titi07]

OKK, merci beaucoup pour votre réponse

[titi07]

Bonsoir,
une autre question s'il vous plait :
si j'ai tel que:
A est symétrique et C est diagonale
d’après ce que j'ai compris B devrait être la matrice qui contient les vecteurs propres de A, mais en appliquant cela à un exemple, j'ai trouvé un faux résultat
si vous pouvez m'expliquer ou est l'erreur, ça me sera utile..

Merci pour votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[titi07]

Bonsoir,
j'ai peut etre mal expliqué la question, alors voila:
si j'ai

[titi07]

Bonsoir,
j'ai peut etre mal expliqué la question, alors voila:
si j'ai

Désolée, le message s'est affiché, avant que je termine
donc si j'ai:
tq: A symétrique et C diagonale, donc normalement B (la matrice qui contient les vecteurs propres de A ) devrait être une matrice orthogonale , mais lorsque j'ai fait les calculs dans un exercice, j'ai pas obtenu B une matrice orthogonale, et je sais pas pourquoi...???


Merci pour votre réponse

[titi07]

Bonjour,
Une petite indication s'il vous plait..

Merci

[invite57a1e779]

on sait qu'une matrice A qui est symétrique, est toujours diagonalisable mais peut on dire qu'elle est toujours diagonalisable par une matrice orthogonale,...??

Je pense qu'il y a un problème de compréhension du français dans cette phrase.

Une matrice symétrique réelle est «toujours» diagonalisable : il existe, pour toute matrice symétrique réelle, une base de vecteurs propres. Autrement dit, il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que : D=P^-1AP.

Elle est «toujours» diagonalisable par une matrice orthogonale : il existe, pour toute matrice symétrique réelle, une base orthonormée de vecteurs propres. Autrement dit, il existe une matrice orhtogonale P qui satisfait la relation précédente, ce qui permet d'écrire la relation sous la forme : D=^tPAP.

Mais, la matrice de passage P n'est pas «toujours» orthogonale : il existe des bases de vecteurs propres qui ne sont pas orthonormées.

Ton problème vient de ce dernier point.
Tu as déterminé les valeurs propres et les espaces propres de A, tu en as déduit une base de vecteurs propres. Mais, si tu t'es laissé porté par le flot des calculs sans exercer aucun contrôle sur la construction effective de la base de vecteurs propres, il n'y a aucune raison d'obtenir une base orthonormée.
Tu t'es retrouvé dans le cas général de l'existence d'une matrice de passage P inversible, et pas dans le sous-cas particulier d'une matrice orthogonale ; bien que ce cas particulier soit «toujours» réalisable, il n'est pas «toujours» réalisé

[invitebe08d051]

Salut,

on sait qu'une matrice A qui est symétrique, est toujours diagonalisable mais peut on dire qu'elle est toujours diagonalisable par une matrice orthogonale,...??

Tu devrais faire un peu attention à ce que tu dis. Le théorème spectral pour les matrices dit que si est une matrice symétrique réelle alors elle est diagonalisable (dans ) dans une base orthonormée.

Pour ce qui est de ton exemple, on ne peux rien te dire (à part que c'est faux) sans avoir vu tes calculs.

Cordialement

[titi07]

d'accord je vois plus clair,
mais je crois que c'est toujours possible de passer d'une base de vecteurs quelconques (par exemple ici les vecteurs propres de ) à une base de vecteurs orthonormés..??
parce que dans le problème que j'ai , on a une matrice A symétrique , et on doit montrer l'existence d'une matrice B telle qu'on a :
, et que C doit etre une matrice diagonale..

[invite57a1e779]

La base initiale est orthonormée...

[titi07]

Non, ils n'ont pas précisé, donc je crois que la base est quelconque

[invite57a1e779]

On raisonne par défaut avec le produit scalaire pour lequel la base initiale est orthonormée : lorsqu'on a calculé un vecteur propre , on le norme en le divisant par .

[titi07]

Dans ce cas la, on aura les vecteurs propres de normes 1 mais je crois qu'ils ne sont pas orthogonaux deux à deux, ou bien je me trompe ..?

[invite57a1e779]

Idem pour les rendre orthogonaux, on travaille avec la base initiale orthonormée.

[titi07]

donc j'utilise le procédé d'orthogonalisation de Gram-smitch pour les rendre orthogonaux deux à deux..

Merci beaucoup pour votre aide,
Cordialement

[invite57a1e779]

Les sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux : cela simplifie déjà une partie de la construction.

[invite59250f02]

oui j'ai oublié ce détail, mais s'ils sont deux à deux orthogonaux, ça veut dire que deux vecteurs propres sont toujours orthogonaux.??

[titi07]

et ben vous m'avez pris la réponse que j'allais écrire ,
oui je crois moi aussi ce que vous avez dis, mais est ce que c'est vraiment juste.???

[invite57a1e779]

Non ! On ne peut assurer l'orthogonalité que pour des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes.
Essaie d'analyser la situation si A est la matrice nulle...

[titi07]

ah je comprend, donc on a toujours que deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux..

[titi07]

mais tous ça bien sur lorsqu'on est dans une base orthonormée...

[invite4a9059ea]

Non ! On ne peut assurer l'orthogonalité que pour des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes.
Essaie d'analyser la situation si A est la matrice nulle...

Bonjour God's Breath ;

est ce vrai pour toute matrice carré réelle (c'est à dire pas forcément diagonalisable) que l'on a que les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux .....


Cdt

[titi07]

Bonjour,

si je me permets de répondre, d’après ce que Mr God's Breath m'a expliqué, on a les sous espaces propres deux à deux orthogonaux si la matrice avec la quelle on travaille est symétrique ..