Bonjour.
J'ai le problème suivant :
Soit S une matrice symétrique. Soient x et y deux vecteurs propres associés aux valeurs propres distinctes α et β de la matrice S.
Comment montrer que x et y sont orthogonaux ?
Est-ce que vous pouvez m'aider?
Merci.
Il faut se rappeler que pour un endomorphisme symétrique s (associé à la matrice symétrique S) vérifie.
Que se passe-t-il dans le cas où x et y sont deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes ?
Je ne vois pas ce que je doit faire?
Est-ce qu'il suffit de trouver la valeur de s?
s est l'endomorphisme associé à S. Si x est un vecteur propre associé à a et y un vecteur propre associé à b, on a :
<s(x)|y> = <ax|y> = a<x|y> car s(x)=ax
<x|s(y)> = <x|by> = b<x|y> car s(y)=by
Et puisque s est symétrique, <s(x)|y> = <x|s(y)>, ce qui donne :
a<x|y>=b<x|y>
Donc soit a=b, soit <x|y>, et ce pour tout x et y vecteurs propres associés respectivement à a et à b.
