Exercice : Calcul de dérivé et développement limité

[invite9dc27dbe]

Bonsoir à tous !

J'ai un exercice concernant une fonction dont on nous donne le développement limité et dont on nous demande de calculer la dérivée seconde. J'ai trouvé la solution mais je voulais savoir si il n'existait un solution alternative peut être moins fastidieuse.

Voilà l'énoncé,
f(x) = sin(x)/x définie pour tout réel non nul
développement limité de f à l'ordre 3 en 0 f(x)=1-x²/6+tau(³)

On nous demande la dérivée seconde de f j'ai trouvé -2/6 cependant le calcul avec les formules de dérivée classique u'v-v'u/u² était un peu long je voulais savoir si l'utilisation des développement limité n'était pas un peu plus rapide. Je connais le principe de ces développements et le développement de fonctions usuelles en 0, mais j'ai du mal à les appliquer dans le cadre de calcul de dérivée.

Je vous remercie par avance !
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[invitec3143530]

tu n'as pas trouvé sa dérivée seconde, mais la valeur de sa dérivée seconde en 0, qui est bien -2/6 car les coefficients du DL sont les valeurs des dérivées en 0 divisés par des factoriels, donc il suffit comme tu l'as fait de multiplier par 2!=2.

[invite34b13e1b]

Bonsoir,

J'ai une question en lien avec celle du concepteur du sujet
je me demandais si l'on pouvais parler de sinx/x comme une fonction cinfini sur R, en considérant le dse de sin (de rayon infini) et en divisant par x, ou si on devait la voir comme une fonction prolongeable en une fonction cinfini sur R?

[invite995b8ddd]

Dans l'absolu, c'est à dire en restant rigoureux, on ne peut pas parler de comme d'une fonction puisqu'elle n'est pas définie en 0. On doit alors dire qu'elle se prolonge...

Maintenant dans une discussion informelle on peut sciemment faire un tel abus pour faciliter la discussion, tant que les deux parties s'entendent clairement sur ce raccourci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite34b13e1b]

oui mais d'un autre coté je peux voir sinx comme la somme de sa série et alors sinx/x est cinfini sur R vu comme somme d'une série de rayon infini. je ne vois pas ce qui pose problème dans mon raisonnement, et j'en suis encore perplexe...

[invite34b13e1b]

avec le recul je m'apercois que je mélange peut-être la valeur de la fonction avec la fonction elle-même... en fait il n'y a pas d'incohérence entre les deux et le dse est juste infiniment mieux puisqu'il enlève le dénominateur.
dsl pour mes questions

[invite9dc27dbe]

Ah d'accord et moi qui cherchais midi à quatorze heure ! ^^
Merci pour ta réponse Linkounet !