Inégalité de sinus

[invite705d0470]

Bonsoir, je cherche à démontrer l'égalité suivante pour tout couple de réels:
.

J'ai pensé aux inégalités triangulaires et à l'inégalité des accroissements finis, mais je parviens juste à montrer que par inégalité triangulaire.

Mais comment trouver la première inégalité ? ...

Merci d'avance.
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[invited5b2473a]

1) Déjà l'inégalité de gauche se déduit de celle de droite.

2) Quant à l'inégalité de droite, tu t'es trompée en l'écrivant; ce n'est pas cos(y) mais sin(y).

[invite705d0470]

oui, oui, bien sûr je voulais écrire sinus (ça n'a aucun sens sinon ...), je me suis trompé.

Mais comment déduire la seconde de la première (juste un indication) ?

[invite995b8ddd]

Bonjour,
si l'on considère que l'on a toujours

alors en changeant y en -y, sachant que on obtient :

En posant le changement de variables inversible et il suit que pour toutes les valeurs de u et v on a :

ceci conduit alors à .

qui par symétrie, en intervertissant u et v , donne aussi

Par conséquent on a : pour toutes les valeurs de u et v.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite705d0470]

Merci beaucoup