jordanisation

[invite371ae0af]

bonjour,

dans un exercice on me demande la réduite de jordan d'une matrice A
comme dimKer(A-iI)=1 et dimKer(A+iI)=1, J=
i 0 0 0
0 -i 1 0
0 0 i 1
0 0 0 -i

dans la suite on me demande de trouver la matrice de passage P tel que P^(-1)AP=J
je calcule les vecteurs propres de i et -i que je met dans la première et deuxième colonne de P
Puis j'utilise jordan je trouve P=
0 0 2 2
0 0 -2+2i -2-2i
-1+i -1-i 1 1
1 1 1 1

mais en faisant le produit je ne retrouve pas mon J. est ce normal? (je suis sur de mes calculs)

merci de votre aide
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[sylvainc2]

J ne semble pas être sous la forme de jordan. Ce serait pas plutôt J=

i 1 0 0
0 i 0 0
0 0 -i 1
0 0 0 -i

car tu as 2 blocs de jordan, et dans chaque bloc on met la valeur propre sur la diagonale, donc ici c'est i dans un bloc et -i dans l'autre.

[invite371ae0af]

oui c'est cela
je viens de m'apercevoir que j'avais faux
de plus comment trouver un vecteur de Ker(M+iI4)=
-2+2i 2i 0 0
-4i -2-2i 0 0
2i -1 -2-2i -4i
-1 2i 2i -2+2i

sans faire de calcul en sachant que le vecteur trouvé ne doit pas être dans ker(M+iI4)=
1+i 1 0 0
-2 -1+i 0 0
1 0 -1+i -2
0 1 1 1+i