Continuité et totale multiplicativité

[invite8ceb181e]

Bonjour,

j'aimerais savoir si une application définie sur vérifiant les deux conditions suivantes :

1) pour tous complexes et ,
2) est continue sur

est nécessairement l'identité ou la conjugaison.

Merci d'avance.
-----

[invite03f2c9c5]

L’application module me semble vérifier les deux conditions sans être l’identité ou la conjugaison.

[invite03f2c9c5]

(Il est trop tard pour pouvoir éditer mon message précédent). L’application constante égale à 1 est un exemple encore plus simple.

[invite8ceb181e]

Il me semble pourtant qu'on a nécessairement non ?
Et si on rajoute comme condition bijective ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite03f2c9c5]

On a nécessairement seulement si n'est pas l’application constante égale à 1 : on doit avoir en effet

qui pour entraîne .

[invite8ceb181e]

Ok. Et pour la bijectivité ?

[invite03f2c9c5]

En espérant ne pas dire de bêtise (le dîner m’appelle), convient et est bijective ?

[invite8ceb181e]

En ce cas, existe-t-il toujours un entier tel que , avec ?

[invite8ceb181e]

Lire dans le message précédent.

[invite03f2c9c5]

Quelques idées… En dehors du cas trivial de l’application nulle , on obtient facilement , , et plus généralement, l’image d’une racine n-ième de l’unité est une racine n-ième de l’unité.

Pour tout et tout ,

me semble définir une application qui convient. S’agit-il des seules possibilités ? Je ne vais hélas pas avoir le temps d’y réfléchir davantage ce soir ou dans les jours qui viennent…

[invite03f2c9c5]

Pour tout

Lire .

[invite57a1e779]

Pour tout

Il me semble que la condition plus large « nombre complexe de partie réelle strictement positive» convient.

[invite57a1e779]

Lire .

Il me semble que pour , la fonction est discontinue en 0. Erré-je ?
De même pour et .