Bonjour,
je voudrais savoir comment montrer qu'une famille {x(x-1),x^2(x-1),...,x^(n-1).(x-1)} est-elle une base de I={S appartient a Rn avec S(0)=S(1)=0 } ????
On n'a pas l'expression de la fonction S , donc on peut pas écrire de système.s'il vous plait aidez moi
Ton énoncé n'est pas très clair.
Déjà si S appartient à R^n, S n'est pas une fonction ^^
Prière donc d'écrire l'énoncé correct.
Ensuite, le bon énoncé doit surement (déduction) être avec I l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n qui s'annulent en 0 et 1
Ensuite une famille est une base si et seulement si :
- Elle est libre (ici vu que tout les polynômes sont de degré différent ça devrait bien se faire)
- Elle est génératrice : Comment tu peux écrire un polynôme de degré inférieur ou égal à n ? (penser factorisation) Ne peux tu pas maintenant l'écrire à l'aide des fonctions de I ?
Tu peux utiliser le théorème des polynômes aux degrés étagés aussi.
J'ai bien copié l'enoncé, j'ai jute oublié d'ecrire I={S appartient a Rn[X] avec S(0)=S(1)=0 }
voila
Mais si !Envoyé par ranyna
On sait très bien décrire les polynômes S qui admettent 0 et 1 pour racines.
Je ne comprend pas ce qu'on doit faire finalement :s
aidez moi
Tu doit montrer que la famille est a la fois libre et generatrice,
Or comme la dimension de Rn[X] est égale au nombre de vecteur qu'il y a dans la famille que tu doit etudier, tu doit en definitive uniquement montrer qu'elle est soit libre soit generatrice. Tu montrer donc libre (car c'est generalement le plus simple a demontrer) c'est a dire:
La famille est libre si la seule combinaison linéaire nulle possible des vecteur de ta famille est celle où tout tes coefficients sont nuls. Tu doit donc montrer (j'appelle ta famille (X1,X2,...,Xn) pour simplifier):
A1.X1+A2.X2+...+An.XN=0 si et seulement si A1=A2=...=An=0 sa te fait deja un premier systeme a resoudre (il faudra surement ce servir de S(0)=S(1)=0
Quand tu a demontrer cela tu peut conclure (en precisant bien que dim(I)=nombre de vecteur de la famille)
Voila
Pour vous, la famille {X1,X2,...,Xn} est la famille {x(x-1),x^2(x-1),...,x^n-1(x-1)} ??
Et je trouve x(-A1)+x^2(A1-A2)+...+x^n(An)=0
Je remplace x par 1 [car S(1)=0] et je trouve -A1+A1-A2+....+An=0 mais je ne vois pas comment ca répond a la question,et si je remplace x par 0 [car s(0)=0] je trouve 0=0 mais ca ne m'avance nul part .
Merci d'avance
Oui la famille (X1,...,Xn) est bien {x(x-1),x^2(x-1),...,x^n-1(x-1)}.
Si tu écrit ta combinaison linéaire tu as:
A1x(x-1)+...+Anx^(n-1)(x-1)=0
ssi en factorisant pas (x-1): (x-1)(A1+A2x^2+...+Anx^(n-1))=0
Donc x=1 ou A1x+A2x^2+...+Anx^(n-1)=0
tu factorise par x: x(A1+A2x+...+AnX^(n-2))=0
x=0 ou (A1+A2x+...+AnX^(n-2))=0
Or A1+A2x+...+Anx^(n-2)=0 si A1=0 et A2x^2+...+Anx^(n-1)=0
tu refactorise par x tu trouve A2=0 et A3x+...+Anx^(n-3)=0
etc... jusqu'a An (il faut que tu dise "par iterration" jusqu'a An)
Au final tu a bien A1=A2=...=An
( les cas x=0 et x=1 etant caracteristique de la famille)
Bon j'espere que tu arrive a comprendre mon developpement sa n'est pas tres facile a ecrire sur l'ordi (lol)
En tout cas moi j'aurais fait comme sa,
voila
j'ai oublier d'écrire "au final tu as bien A1=A2=An=0" le =0 étant ce que tu recherche pour montrer que ta famille est libre
Elle est libre et elle a n element, nétant la dimension de l'espace, d'ou la famille est une base de l'espace considéré
merci beaucoup,j'ai compris
De rien, je suis ravie d'avoir aidé
