somme directe et bases

[invite76db3c86]

Bonjour ,
j'ai lu que lorsque un espace vectoriel est la somme directes de sev chacuns munis de leurs bases , alors la "réunion" des bases est une base de l'espace vectoriel (j'ai d'ailleurs essayé de le démontrer , en passant par la liberté , parceque pour l'aspect générateur de la nouvelle famille, cela me semblait assez direct... enfin...)

Je me suis osé alors la question suivante : soit (d1,...,dn) n droites vectorielles d'un ev E de dimension n, et tq :


o la somme directe des di est E (supplémentaires de E)
o chaque di est définie comme di= <(ui)> avec ui un vecteur de E (non nul).

Alors les n vecteurs ui forment une base de E , non ?

CEla a t il un rapport avec les "repères" ( par exemle utilisés pour dessiner des graphes de fonctions , ...)?

Merci d'avance
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[invitec3143530]

Oui, ils forment bien une base.

En effet, tout vecteur de E s'écrit comme une combinaison des vecteurs de la base canonique, et chaque vecteur de la base canonique s'exprimer comme combinaison des ui (car somme des di = E) = > "<(ui)> est génératrice."
Si un vecteur ui s'exprimait en fonction des autres ui, la dimension de E serait <= n-1, c'est absurde. => "<(ui)>" est libre.

On ne parle de repère que dans le cas des espaces affines. Mais c'est la même idée.

[invite76db3c86]

là pour la liberté , le fait qu'il y ait n droites était bien pratique , mais si on suppose dans le cas général E=F+G (directe) avec F et G deux sev de E munies de deux bases quelconque , pour démontrer la liberté de la nouvelle base , j'ai supposé une combinaison linéaire annulant les vecteurs de la base , et cela entraine l'existence d'un w dans F inter G , tq w= lambda1 u1 +... ¨lambda n u_n = - (µ1 v1 + ... + µn vn) (ou cette derniere écriture montre que w appartint à l'espace engendré par la première base i.e F ainsi qu'à G de la même façon).

Comme F inter G = {0_E} , on a w = 0_E , d'ou , par définition des coordonnées , lambda1=...=lambda n = µ1 = ... = µn d'ou la liberté , n'est-ce pas ?

Pour l'aspect famille génératrice , on fait comme précedemment , n'est-ce pas ?