Bonjour,
je voudrais savoir ce qu'est le quotient d'un ensemble par un autre.
En particulier, je suppose qu'il y a une relation d'équivalence sous-entendue, mais quelle est elle ?
Et quelles sont les classes d'équivalences de l'ensemble quotient.
Bonne journée.
On parle d'ensemble quotient quand on a défini une relation d'équivalence, peu importe laquelle, par exemple sur R* la relation x et y sont de même signe.
L'ensemble quotient est celui des classes d'équivalences, dans cet exemple il n'y a que deux classes : celle de 1 et celle de -1.
Après si tu as un groupe G et un sous groupe H, on peut parler du quotient G/H. La relation d'équivalence est alors implicite :
ssi
On dit alors que x est congru à y modulo H.
Les classes d'équivalence sont alors les xH,
OK,
merci pour vos réponses. Je vais me documenter sur cette notion de quotient d'un groupe par un sous-groupe.
Bonne journée.
L'idée de quotienter un ensemble E structuré est de regrouper les éléments de E dans des sacs. Tu obtiens alors un nouvel ensemble constitués de sacs.
Par exemple, tu considères (Z,+), le groupe des entiers relatifs muni de l'addition et tu vas regrouper chaque nombre en fonction de son reste modulo 5. Tu obtiens 5 sacs, l'un correspondant au entiers divisibles par 5, le deuxième ceux ayant pour reste 1,etc. Afin de nommer ces sacs, on les nomme généralement en utilisant un élément du sac (appelé "représentant) muni d'un point ou d'une barre au-dessus. Par exemple, dans notre exemple, le sac correspondant au entiers dont le reste est 3 peut s'appeler "3 barre" (ou 8 barre,etc.).
Où est l'intérêt?? Il réside dans le fait qu'on ne va pas trier les éléments de E n'importe comment mais de telle manière à ce qu'à notre nouvel ensemble de sacs, on puisse le munir d'une structure, si possible similaire à l'ensemble de départ. Dans notre exemple, alors notre ensemble quotient qui s'écrit Z/5Z (pour une raison que je vais expliquer après) peut également être muni de l'addition et de la multiplication. Ainsi, 3 barre + 4 barre = (3 + 4) barre = 7 barre = 2 barre.
Si tu es rigoureux, tu vas me dire : c'est bien gentil de vouloir étendre les lois de E dans l'ensemble quotient mais est-ce que c'est tout le temps possible? Parce qu'on pourrait imaginer que si je prend deux représentants a et b d'un sac et deux autres, c et d d'un autre sac, on pourrait avoir a+c et b+d qui n'iraient pas dans les mêmes sacs. EN EFFET, ces nouvelles lois de composition doivent être cohérentes, i.e. indépendantes des représentants choisis. Ainsi, reconsidérons notre exemple. Prenons a et b deux représentants de 3 barre et c,d deux représentants de 4 barre. Alors a+c = 3 + 4 (modulo 5) = 7 (mod 5) = 2 (mod 5) donc (a+c) barre = 2 barre. De même, b + d = 3 + 4 (modulo 5) = 7 (mod 5) = 2 (mod 5) donc (b+d) barre = 2 barre. Ouf, on a bien 3 barre + 4 barre = 2 barre indépendamment des représentants utilisés.
Pourquoi quotient me diras-tu?? Et bien cela vient du fait qu'on peut voir le triage fait en "divisant" chaque élément de (E,.) par un ensemble donné H. "divisant" est à prendre au sens d'effectuer la multiplication par l'inverse. Dans notre exemple, "diviser" revient à faire l'addition par l'opposé (i.e. une soustraction!). Toujours dans notre exemple, qu'a-t-on fait fondamentalement? Eh bien, on a trié modulo 5 i.e., qu'on a pris nos entiers relatifs et on leur a soustrait leur partie divisible par 5 : par exemple, 83 = 5*16 + 3. 5*16 est divisible par 5. Il "reste" donc 3 d'où 83 et 3 dans le même sac! Ainsi, notre exemple quotient peut être vu comme la "division" de Z par l'ensemble des multiples de 5 (qui n'est autre que 5Z), ce qui se note Z/5Z où ici, la "division" est pris au sens de l'addition.
Un sous-groupe H de (G,.) s'est quoi?? Et bien c'est un sous ensemble muni de l'élément neutre et stable par la loi de composition du groupe. C-à-d, si a et b sont dans H, alors a.b reste dans H Par exemple, 2Z est un sous-groupe de (Z,+) (la somme de deux entiers pairs est toujours paire). Où est le lien avec notre quotientage?
Eh bien, on a vu q'un quotient peut être vu comme la division du groupe par un sous-ensemble. Mais pour que notre quotient soit bien cohérent, il faut que ce sous-ensemble soit en faitun sous-groupe. Dans notre exemple, 5Z est bien un sous-groupe de Z.
Enfin, et c'est une remarque, l'idée de quotient s'applique de manière générale à des ensembles structurés, que ce soit des groupes, des anneaux, corps, espaces vectoriels et autres.
+
Pour compléter la réponse d'Indian58 (en particulier la dernière phrase), l'intérêt de l'idée du quotient est de partir d'un objet d'une certaine catégorie (groupe, espace topologique, variété complexe,...) avec certaines "mauvaises" propriétés et en "quotientant" par un sous-objet (sou-groupe, sous-espace,...) bien choisi, on obtient un objet de la même catégorie avec de "meilleures" propriétés.
Par exemple, si G est un groupe non abélien et si H est le groupe des commutateurs de G, alors G/H est un groupe abélien appelé abélinisé de G. Autre exemple: partant d'un espace topologique non T0, on peut définir une relation d'équivalence (deux points sont équivalents si et seulement si tout voisinage de l'un est voisinage de l'autre) telle que l'espace quotient soit T0.
Par contre, parfois, cela ne marche pas comme on voudrait et il faut "quotienter" de manière intelligente (par exemple, le quotient d'un groupe G par un sous-groupe H n'a une structure "naturelle" de groupe que si H est un sous-groupe normal de G).
La notion de quotient ne s'arrête pas aux mathématiques : en quotientant l'ensemble des objets (physiques et tangibles), par la relation "Avoir même couleur", on obtient l'ensemble des couleurs (n'est-ce pas ce que nous faisons quand nous appliquons un nom à un concept (et sans doute pour les objets polymorphiques ?)).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
En relisant la réponse, je me suis dit qu'on ne répondait peut-être pas tout à fait à la question. On peut interpréter la question de la manière suivante: soit X un ensemble et A une partie de X. Quel est l'ensemble quotient de X/A?Envoyé par rna
X/A est défini par la relation d'équivalence: x est équivalent à y si et seulement si x=y ou x et y sont tous deux éléments de A (possiblement distincts). La classe d'équivalence de x est alors {x} si x n'est pas élément de A, et A dans le cas contraire. Cela revient à identifier tous les points de A. Par exemple, si X=[0,1] et A={0,1}, alors X/A est l'ensemble obtenu en identifiant les deux extrémités d'un segment. D'un point de vue topologique, l'espace X/A obtenu est un cercle. Ce genre d'identification est l'un des outils de base de topologie et de géométrie pour construire de nombreux objets.
oui, en effet j'avais oublié d'ajouter ce point.
Tiens, c'est amusant mais j'avais un prof de maths qui nous avait sorti cet exemple.
Cependant, dans ton cas, tu fais quoi des lois de composition? L'intérêt du quotientage, à mon avis, réside surtout dans le fait qu'on puisse induire des lois cohérentes dans la nouvelle structure. On ne peut pas quotienter tout avec n'importe quoi.
Bonjour,
Cela sert aussi à définir de nouveaux concepts, comme dans cet exemple.
Si votre prof de mathématique vous a donné cet exemple c'est peut-être parce que lui aussi a lu Wittgenstein (le cahier bleu ou le cahier brun je ne me souviens plus, cela remonte à 35 ans)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
