Cercle d'Euler et triangle

[inviteb4f1602f]

Bonjour,

Je cherche depuis des jours, j'ai trouvé des tonnes de discussions (ici et ailleurs) et d'articles qui traîtent du cercle d'Euler et pourtant je ne comprends toujours pas.

Voila mon problème :

Soit ABC un triangle.
Soit G, O et H, ses centres de gravité centre du cercle circonscrit et orthocentre.
Soit I, J et K, les milieux de BC, AC et AB
Soit X le cercle circonscrit à IJK.

À l'aide d'une homothétie, montrer que X passe par les milieux de AH, BH et CH.

J'ai seulement besoin de démontrer ses 3 points-là, pas les 6 autres, et il faut prendre une homothétie. J'ai trouvé sur wiki qu'il faut tracer le cercle circonscrit à ABC et faire une homothétie de centre H et rapport -1/2... je n'arrive pas à faire ça (pas très à l'aise avec les homothéties je dois avouer).

Un petit coup de main serait apprécié!
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[invite995b8ddd]

J'ai seulement besoin de démontrer ses 3 points-là, pas les 6 autres, et il faut prendre une homothétie. J'ai trouvé sur wiki qu'il faut tracer le cercle circonscrit à ABC et faire une homothétie de centre H et rapport -1/2...

Bonsoir,
sans faire appel aux homothéties on peut terminer ce problème du cercle des neufs points comme ceci :

Tu as démontré (pour les 6 premiers points cocycliques) que pour n'importe quel triangle le cercle passant par les milieux des côtés est aussi le cercle qui passe par les pieds des hauteurs. Il suffit d'appliquer ce résultat au triangle BCH, en remarquant que les hauteurs de ce triangle sont les droites (BA), (CA) et (HA) dont les 3 pieds sont sur le fameux cercle, pour conclure que les milieux des côtés [BH] et [CH] sont aussi sur ce même cercle.