bonjour,
ayant du mal à résoudre un exercice de géométrie simple (pas analytique) avec de la géométrie pure, je me demandais si on pouvait résoudre la plupart (voir tous) les exercices de géométries de ce type avec des transformations?
si oui auriez vous quelques exemples pour voir comment on les utilisent?
merci de votre aide
Comme disait un de mes profs de maths, en géométrie, dans le pire des cas, tu poses un repère, des coordonnées et tu fais les calculs...
le problème c'est que ca ne marche pas tout le temps. Par exemple comment montrerai tu que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un point,en passant par la géométrie analytique?
Une méthode qui marche :Envoyé par 369
* trouver les équations cartésiennes des trois hauteurs (par exemple la hauteur issue de A dans ABC a pour équation:)
* déterminer les coordonnées du point d'intersection des deux premières hauteurs, par la résolution d'un système de deux équations à deux inconnues en suivant la méthode des déterminants...
* vérifier enfin que les coordonnées ainsi obtenues respectent l'équation de la troisième hauteur (c'est là que les calculs deviennent laborieux, mais restent humainement faisables et conduisent à l'affirmative).
On rapporte le plan à un repère orthonormé.
Soit A, B, C, D quatre points du plan, d'affixes respectives
1. Les droites (AH) et (BC) sont orthogonales si, et seulement si:
2. Soit H l'intersection des hauteurs issues de A et de B; alor :
3. Si
4. Le point H appartient à la hauteur issue de C.
On n'a pas besoin de calculer explicitement
On rapporte le plan à un repère orthonormé.
1. On détermine des équations cartésiennes des trois hauteurs.
2. Les trois hauteurs sont concourantes si, et seulement si, elles appartiennent à un même faisceau de droites : il suffit donc de vérifier qu'il existe une combinaison linéaire non triviale entre les équations des trois hauteurs. Là encore, point n'est besoin de résoudre le système, et on ne calcule donc pas explicitement les coordonnées de l'orthocentre.
merci de votre aide
mais la méthode du repère avec le passage au complexe marche-t-il pour tous les exos de géométrie pure?
En théorie, tout problème peut-être résolu aussi bien par des coordonnées cartésiennes réelles, par des coordonnées polaires, ou par des affixes complexes.
Dans la pratique, il y a souvent un repère et un système de coordonnées dans lequel les calculs sont plus sympathiques.
j'aurai encore une question: pour les hauteurs du triangle
comment à partir de (h-a)/(b-c) et (h-b)/(c-a) montre-t-on que (h-c)/(a-b) est imaginaire pur?
On caractérise les complexes
On a les hypothèses :
Par addition:
et
d'accord merci
j'aurai encore une question sur ce sujet
je prend le triangle ABC et je note H le point d'intersection des hauteurs
je suppose que les hauteurs issues de A et B se coupent en H
il reste à montrer que la hauteur issues de C passe par H
je note O l'intersection de la hauteur issue de H et [AB]
à ce moment-là, ne peut on pas utiliser de l'algèbre linéaire je prend comme repère R(C,CB*,CA*) avec * pour vecteur
je pose CO*=x
CA*=c1 et CB*=c2
je considère (CB) et (CA) comme des droites vectorielles
Vect{e1} +° Vect{e2}=R² avec +° la somme directe
je projette O sur (CA) par rapport à (CB) et O sur (CB) par rapport à (CA)
j'obtiens 2 projecteurs p(x)=x1 et q(x)=x2 avec p la projection sur CA* parrallèlement à CB* et q la projection...
donc x=x1+x2
maintenant j'aimerai bien montrer que CO* passe par H ne peut on pas le faire de cette facon en utilisant les projecteurs ci-dessus?
Donc tu veux montrer que les hauteurs sont concourantes? Dans ce cas, il y a une méthode assez simple en utilisant les vecteurs (un peu comme toi) et le produit scalaire.
Le repère
Si, si, ça se fait mais sans repère, jusqte à coup de vecteurs et de produits scalaires.
Effectivement, il suffit en l'occurrence de faire une simple soustraction.
La hauteur issue de B :
La hauteur issue de A :
donnent par soustraction:
La hauteur issue de C :
Ce qui permet d'affirmer que le point commun aux hauteurs issues de A et B est sur la hauteur issue de C.
