Equation differentielle

[invite1967ae56]

Bonjour, pourriez vous m'aider a résoudre cet exercice svp car je n'ai jamais fais d'équation differentielle et je pense que c'est avec ca que je dois resoudre ce probleme. D'avance merci de votre aiguillage

Le débit d'air au travers d'un réacteur peut être mis sous la forme:
(Q.S^a.Ps^b.Ts^c)=f[(V.Ts^d),(N.Ts^e.S^f)]

Q: DEBIT D AIR MASSIQUE
S: SURFACE DE REFERENCE
Ps: PRESSION STATIQUE
Ts: TEMPERATURE STATIQUE
V: VITESSE-AIR DE L AVION
N:NOMBRE DE TOURS/MN

CALCULER LES DIVERS EXPOSANTS POUR QUE CHACUN DES TROIS GROUPEMENTS DE PARAMETRES ENTRE PARENTHESES SOIT SANS DIMENSION.
ON CONSIDERERA QUE LA TEMPERATURE A LA DIMENSION DU CARRE D UNE VITESSE

L'égalité est de la forme y'=f.y
Les solutions sur R sont donc definies par: y(x)=C e^ax ou C est une constante quelconque de R (réel)
Donc , ici, y'=(Q.S^a.Ps^b.Ts^c) , y=(V.Ts^d),(N.Ts^e.S^f)
=> les solutions sur R sont: y(x)=C.e^fx

Impossible d'aller plus loin, quoi faire???
D'avance merci de votre aide
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

Pour cette question, nul besoin de déterminer l'expression de l'équation.
Par contre, il te faut impérativement les unités (ou les dimensions) de chacune des grandeurs.

En quelle unité s'exprime chacune d'elles ?

Duke.

[Duke Alchemist]

Re-

C'est ce qu'on appelle une analyse dimensionnelle.
Je vais faire la plus simple ( ) pour t'expliquer le procédé :

V.T_s^d = [m.s^-1]x[m²s^-2]^d = [m^1+2d.s^-1-2d].

On veut que l'ensemble soit sans dimension, c'est-à-dire que l'exposant de chacune des grandeurs isolées soit nul :
Le système obtenu est donc ici :

 Cliquez pour afficher

1+2d = 0
-1-2d = 0

qui mène à d=-1/2.

La réponse était ici triviale puisque la température s'exprime comme le carré de la vitesse...

Si tu as compris le procédé, cela devrait aller même pour les autres qui sont un peu plus calculatoires (surtout la première) mais rien de bien sorcier.

Fais des propositions de réponses et je donnerais la mienne... ultérieurement

Duke.

[invite1967ae56]

Hello,malheureusement je n'ai pas les unites des grandeurs dans l'énoncé donc difficile de proposer quelque chose.
Désolé!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1967ae56]

J'ai également un autre exercice du même type tel que:
F=k. mm'/d2
Déterminer la dimension de la grandeur k dans le système international sous la forme Ma Ld Tc avec les unites de masse, longueur et temps
Dois je appliquer le même raisonnement que pour l'exercice précédent?

[Duke Alchemist]

Re-

Même si ton énoncé ne l'indique pas, tu dois connaître les unités de base de ces grandeurs.

La vitesse en m.s^-1, c'est OK ?
La surface en m²
La température est assimilée au carré de la vitesse donc en ...
La pression est en Pa (pascal) et 1Pa = 1N.m^-2 (via p=F/S) et 1N = 1kg.ms^-2 (via P=mg ou ) donc la pression est en ...
N est en min^-1 soit à un facteur 1/60 près à des s^-1.
Le débit massique représente ... c'est donc en ...

Fais une proposition pour P et pour Q.

Pour l'autre exo, c'est du même style en effet...

Duke.

[invite1967ae56]

Apres avoir lu des cours sur l'analyse dimensionnelle je propose ceci:
F=k.mm'/d²
Determiner la dimension de k sous la forme M^a, L^b,T^c

La dimension de la force est de la forme: [F]=MLT^-2 car produit d'une masse et d'une accélération
[mm'/d²]=M²L^-3
donc [k]=M^-1L³T^-2

Merci de vous pencher sur cet exo
A+

[Duke Alchemist]

Re-

Je suis d'accord avec ce que tu as trouvé pour k.
Par contre

[mm'/d²]=M²L^-3

ce serait plutôt [mm'/d²]=M²L^-2.
Une coquille sans doute

C'est un exercice qui indépendant de toute base de cours ?...
Tu as l'air de chercher des cours sur l'analyse dimensionnel que c'en est l'exercice type...
Sinon, tu as l'air de bien maîtriser la notion

Duke.

[invite1967ae56]

En fait je prepare un concours aero, j'ai passé le Bac il y a 21 ans et n'ai jamais vu les equa dif ou analyse dimensionnelle. J' ai juste des annales non corrigés et cet exercice et l'un de cela. Je travaille donc avec internet et ce site pour me corriger.
Bonne soirée

[Duke Alchemist]

OK.

N'hésite pas à poster les réponses à cet exercice ici alors, si ce n'est pas moi, quelqu'un te corrigera si besoin est

Bon courage.
Duke.

[invite1967ae56]

Bonsoir. Allez, je me lance, le ridicule ne tue pas:
X=W/nµp^a.D^b.N^c et to=T/nµp^d.D^e.N^f
avecµ=S/d²
W puissance moteur
T traction sur un helico
D diametre helice
n nombre de pales
µ definit surface d'une pale
N nombre trs/mn
p masse volumique de l'air
X et to sont des grandeurs sans dimension, déterliner les exposants!

[p]=M.L^-3 d'ou a=1-3=2
[D]=L d'ou b=1
[N]=T^-1 d'ou c=-1

Trop simple pour etre correct, n'est ce pas?
J'attends vos remarques pour corriger le tir.
Merci

[invite1967ae56]

Bonsoir, grace aux conseils de Duke je propose:
y=(V.Ts^d),(N.Ts^e.S^f)
V.Tsd = [m.s-1]x[m2s-2]d = [m1+2d.s-1-2d].
1+2d = 0
-1-2d = 0
qui mène à d=-1/2

N.Tse.Sf = [s-1]x[m2s-2]e x [s2]f
=[m2e.s-1-2e+2f]
2e=0 => e=0
-1-2e+2f=0 => f=1/2
donc y=(V.Ts1/2),(N.S1/2)

y'=Q.S[SUP][/SUaP].Ps^b.Ts^c
=(M.T-1).(L2a).(M.L-1.T-2)b.(L2T2)c
=(M1+b).(T-1-2b+2c).(L2a-b+2c)
=> 1+b=0 b=-1
-1-2b+2c=0 c=-1/2
2a-b+2c=0 a=0

donc y'=Q.Ps^-1.Ts^-1/2

C'est à vous pour la critique.
Bonne soirée

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

y=(V.Ts^d),(N.Ts^e.S^f)
V.Tsd = [m.s-1]x[m2s-2]d = [m1+2d.s-1-2d].
1+2d = 0
-1-2d = 0
qui mène à d=-1/2

OK

N.Tse.Sf = [s-1]x[m2s-2]e x [s2]f
=[m2e.s-1-2e+2f]
2e=0 => e=0
-1-2e+2f=0 => f=1/2
donc y=(V.Ts1/2),(N.S1/2)

y'=Q.S[SUP][/SUaP].Ps^b.Ts^c
=(M.T-1).(L2a).(M.L-1.T-2)b.(L2T2)c

Il manque un signe "-"

=(M1+b).(T-1-2b+2c).(L2a-b+2c)
=> 1+b=0 b=-1
-1-2b+2c=0 c=-1/2
2a-b+2c=0 a=0

donc y'=Q.Ps^-1.Ts^-1/2

En rouge quelques erreurs.
Aucun coefficient n'est nul... enfin pour moi

Duke.

[invite1967ae56]

merci Duke, je verrais ca demain matin.
Bonne soirée

[invite1967ae56]

Bonsoir, ai je fauté?? Merci d'avance

N.Tse.Sf = [T-1]x[L2T-2]e x [L2]f
=(T-1-2e). (L2e+2f)

-1-2e=0 =>e=-1/2
2e+2f=0 =>f=1/2 par conséquent, N.Ts^e.S^f s'écrit : N.Ts^-1/2.S^1/2

y'=Q.S^a.Psb.Tsc
=(M.T-1).(L2a).(M.L-1.T-2)b.(L2T-2)c
=(M1+b).(T-1-2b-2c).(L2a-1b+2c)

1+b=0 =>b=-1
-1-2b-2c=0 =>c=1/2
2a-b+2c=0 =>a=-2 par conséquent y'=Q.S^-2.Ps^-1.Ts^1/2

[invite1967ae56]

Concernant cet exercice je propose la solution suivante:

X=W/nµp^a.D^b.N^c et to=T/nµp^d.D^e.N^f
avec µ=S/d2

W puissance moteur
T traction sur un helico
D diametre helice
n nombre de pales
µ definit surface d'une pale
N nombre trs/mn
p masse volumique de l'air
X et to sont des grandeurs sans dimension, déterminer les exposants!

1ere égalité: X=(M.L2T-3) / (L2.L-2)a.(L)b.(T-1)c
=(M.L2T-3).(L-2L2)a.(L-1)b.(T)c
=(M1).(L2-2a+2a-b).(T-3+c)
2-2a+2a-b=0 =>b=2
-3+c=0 =>c=3
a=0 selon l'égalité, je sais que ce n'est pas possible mais j'ai bau chercher je trouve pas le hic! a moins que nµ est comme dimension 1 et n'entre dans l'égalité pour trouver "a"???
Donc: X=W/ nµp^a??.D².N³

2ème égalité: to=T/nµp^d.D^e.N^f

même chose mais avec T traction donc une force de dimension MLT-2
=(M.LT-2) / (L2.L-2)a.(L)b.(T-1)c
=(M.LT-2).(L-2L2)a.(L-1)b.(T)c
=(M1).(L1-2a+2a-b).(T-2+c)

donc "a" toujours ???
b=1 et c=2

Je suis impatient de savoir ou ai je buté.
Merci de vos réponses
Bonne soirée

[invite1967ae56]

Désolé mais quelqu'un pourrait il me dire si mon exercice est bon ou pas svp merci:


(Q.S^a..Ps^b.Ts^c) = f [(V.Ts^d),(N.Ts^e.S^f)]
Question: trouver les divers exposants pour que chaque groupe soit sans dimension.
sachant que la temperature a la dimension du carré d'une vitesse.

V.Tsd = [m.s-1]x[m2s-2]d = [m1+2d.s-1-2d].
1+2d = 0
-1-2d = 0
qui mène à d=-1/2

N.Tse.Sf = [T-1]x[L2T-2]e x [L2]f
=(T-1-2e). (L2e+2f)
-1-2e=0 =>e=-1/2
2e+2f=0 =>f=1/2 par conséquent, N.Tse.Sf s'écrit : N.Ts-1/2.S1/2

Q.Sa.Psb.Tsc
=(M.T-1).(L2a).(M.L-1.T-2)b.(L2T-2)c
=(M1+b).(T-1-2b-2c).(L2a-1b+2c)

1+b=0 =>b=-1
-1-2b-2c=0 =>c=1/2
2a-b+2c=0 =>a=-2 par conséquent y'=Q.S-2.Ps-1.Ts1/2

Au final, (Q.S^-2.Ps^-1.Ts^1/2)=f[(V.Ts^-1/2),(N.Ts^-1/2.S^1/2]

Encore merci de vous y pencher
Bonne soirée

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Pour moi, tout va bien jusqu'à

... 2a-b+2c=0 =>a=-2...

Une faute d'inattention sans doute

Duke.

[Duke Alchemist]

Re-

...
µ definit surface d'une pale
...
1ere égalité: X=(M.L2T-3) / (L2.L-2)a.(L)b.(T-1)c
=(M.L2T-3).(L-2L2)a.(L-1)b.(T)c
=(M1).(L2-2a+2a-b).(T-3+c)
2-2a+2a-b=0 =>b=2
-3+c=0 =>c=3
a=0 selon l'égalité, je sais que ce n'est pas possible mais j'ai bau chercher je trouve pas le hic! a moins que nµ est comme dimension 1 et n'entre dans l'égalité pour trouver "a"???
Donc: X=W/ nµp^a??.D².N³...

Si "µ définit une surface", est-ce vraiment sans unité ?...

Duke.

EDIT : Et pourquoi p est en L²L^-2 ?