Equation différentielle
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Equation différentielle



  1. #1
    invitea6450479

    Exclamation Equation différentielle


    ------

    Bonjour! Pouvez-vous m'aider pour cet exercice svp :


    On considère l' équation différentielle : (E): y'-3y=sin x

    Résoudre, sur R, l'équation sans second membre associé:
    (E0): y'-3y=0

    Déterminer des réels a et b de sorte que la fonction p définie sur R par:
    p(x)=acosx+bsinx
    soit solution de (E) sur R.

    Démontrer que f est une solution de (E) sur R si et seulement si f - p est une solution de (E0) sur R.

    En déduire les solutions de (E) sur R.


    Donc j'ai commencé le début mais je suis bloquée pour la suite:

    y'-3x=0
    y'=3y
    Les solutions sont de la forme: y=ke3x

    -----

  2. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Equation différentielle

    Salut,

    OK pour la première question. Pour la deuxième, tu veux que soit solution de (E) donc tu y remplaces par et par et ça va te donner des conditions sur et .

  3. #3
    invitea6450479

    Re : Equation différentielle

    Donc si je remplace y par p et y' par p' voila ce que je trouve:

    p(x)=acosx+bsinx
    p'(x)=-asinx+bcosx

    y'-3y=sinx
    -asinx+bcosx-3(acosx+bsinx)=sinx
    -asinx+bcosx-3acos-3bsinx=sinx

    Comment faire après?

  4. #4
    invite1237a629

    Re : Equation différentielle

    Plop,

    Ben par identification...réunis tous les termes en sin et tous les termes en cos, sachant que de l'autre "côté" de l'équation, tu as 1*sin(x) + 0*cos(x)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Flyingsquirrel

    Re : Equation différentielle

    Ensuite regroupe tous les sinus d'un côté, tous les cosinus de l'autre.

    Tu obtiens une équation de la forme C1sin(x) = C2 cos(x) qui est vraie pour tout réel x. Que peut-on en déduire sur C1 et C2 ?

    Indice :
     Cliquez pour afficher


    EDIT : grillé

  7. #6
    invitea6450479

    Re : Equation différentielle

    Si je fais par identification je trouve:
    (-a-3b)sinx + (b-3a)cosx = 1sinx + 0cosx

    -a-3b=1 -3a-9b=3 -8b=3 b=-3/8 a=1
    -3a+b=0 -3a-b=0 -3a-b=0 a=1/8 b=-3

    On trouve : p(x)= cosx - 3sinx

    Et pour la suite ?

  8. #7
    Flyingsquirrel

    Re : Equation différentielle

    Tu as fait une erreur de calcul donc le résultat est faux. (2e ligne, passage de -3a+b=0 à -3a-b=0)

    Pour la suite il faut savoir qu'une solution de (E) se décompose en la somme d'une solution particulière de (E) et d'une solution de (E0)

    @MiMoiMolette : En terminale, on est capable de justifier l'utilisation de l'identification ? Ça fait intervenir de l'algèbre, non ?

  9. #8
    invite1237a629

    Re : Equation différentielle

    Euh...

    Chais po, si on a a cosx+b sinx=c cosx + d sinx <=> (a-c)cosx + (b-d)sinx, alors a=c et b=d, c'est de l'algèbre ?


    Et il ne faut pas dire de gros mot tel que "algèbre"

  10. #9
    Flyingsquirrel

    Re : Equation différentielle

    (a-c)cosx + (b-d)sinx=0, alors a=c et b=d
    C'est ça qui me gène. Ça me parait un peu rapide et je ne pense pas que ça soit évident pour un terminale. (sauf à dire que sinus et cosinus ne peuvent pas se "compenser" mutuellement mais ça n'est pas super rigoureux)

    Quand je disais "Algèbre" je parlais du cours sur les séries de Fourier où on montre que sinus et cosinus forment une famille libre ce qui permet de justifier ce que tu fais au dessus.

  11. #10
    invite1237a629

    Re : Equation différentielle

    Je dois avouer que je n'y connais pas grand-chose en algèbre linéaire et que "famille libre" représente pour moi un mot grossier

    Enfin justement, il me semblait qu'en terminale ou première j'utilisais ce genre de choses... faut voir si audrey53v comprend =D

  12. #11
    God's Breath

    Re : Equation différentielle

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    C'est ça qui me gène. Ça me parait un peu rapide et je ne pense pas que ça soit évident pour un terminale. (sauf à dire que sinus et cosinus ne peuvent pas se "compenser" mutuellement mais ça n'est pas super rigoureux)

    Quand je disais "Algèbre" je parlais du cours sur les séries de Fourier où on montre que sinus et cosinus forment une famille libre ce qui permet de justifier ce que tu fais au dessus.
    En terminale, on doit être capable d'écrire :

    Si on a, pour tout , , alors, en particulier,
    - pour , , soit
    - pour , , soit
    donc et

  13. #12
    God's Breath

    Re : Equation différentielle

    Citation Envoyé par audrey53v Voir le message
    Déterminer des réels a et b de sorte que la fonction p définie sur R par:
    p(x)=acosx+bsinx
    soit solution de (E) sur R.
    L'énoncé demande seulement des réels a et b de sorte que ...

    L'identification conduit à trouver facilement de tels réels. Il n'est pas demandé de montrer que ce sont les seuls, ce qui est effectivement un tout petit peu (mais vraiment un tout tout petit peu) plus déclicat.

  14. #13
    Flyingsquirrel

    Re : Equation différentielle

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    En terminale, on doit être capable d'écrire :
    Si on a, pour tout , , alors, en particulier,
    - pour , , soit
    - pour , , soit
    donc et
    C'est exactement ce que j'ai suggéré au cinquième message.

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    L'énoncé demande seulement des réels a et b de sorte que ...

    L'identification conduit à trouver facilement de tels réels. Il n'est pas demandé de montrer que ce sont les seuls, ce qui est effectivement un tout petit peu (mais vraiment un tout tout petit peu) plus déclicat.
    Au temps pour moi

  15. #14
    God's Breath

    Re : Equation différentielle

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    C'est exactement ce que j'ai suggéré au cinquième message.
    Je n'avais pas lu la solution cachée.

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