Equation différentielle

[EspritTordu]

Bonjour,


Voici une équation différentielle classique :

y''+Ny'-P=0 (E0)

où N et P sont des constantes.

La solution envisagée est celle d'une équation différentielle du second orde à discrimant positif pour l'équation caractéristique.

La solution est de la forme suivante donc :

Y=L1 e(r1x)+L2 e(r2x)

où L1 et L2 sont constantes, r1 et r2 sont les solutions de l'équation caractéristiques.

Je suppose désormais les conditions initiales pour avoir une solution particulière de E0:

Y(0)=0
Y'(0)=0

d'où si je ne me trompe pas L1 et L2 nul.....

Où est-ce que j'ai faux, si L1 et L2 sont nuls, Y l'est aussi??

Merci d'avance.
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[invite8b04eba7]

Salut !

La fonction nulle est solution donc c'est normal que si tu prennes des conditions initiales que celles de la fonction nulle tu trouve Y=0 (en vertu du th. de Cauchy-Lipschitz, il y a unicité de la solution).

[invite88ef51f0]

Salut,
J'aurais dit la même chose que Doudache, mais je me suis rendu compte à temps que la fonction nulle n'est pas solution si P est différent de 0...

[invite8b04eba7]

Salut,
J'aurais dit la même chose que Doudache, mais je me suis rendu compte à temps que la fonction nulle n'est pas solution si P est différent de 0...

Ah oui ça m'apprendra à ne pas tout lire...

EspritTordu, tu n'as que la solution de l'équation homogène là, il faut encore que tu fasses la variation des constantes pour trouver une solution particulière. Et ensuite, le tour est joué !

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

En fait cette équation est faussement du deuxième degré, si on pose z=y', elle devient
z'+Nz=P.
La solution est de la forme A+Bt+Cexp(rt), et se résoud bien avec les conditions initiales.

[EspritTordu]

Voici un lien
http://www.bibmath.net/formulaire/equadiff3.php3

C'est à propos de la méthode de variation des constantes.

Je continue sur ma première lancée et je lis le second paragraphe sur la méthode appilquée aux équations du second ordre.

Comment passe-t-il de
Y'(t)=L1(t)y1'(t) + L2(t)y2'(t)
à
L1'(t)y1(t)+L2'(t)y2(t)=0 ?

Un truc m'échappe certainement depuis le début : voici le résultat trouvé (pris sur le site) :
y(t)=ln(t)e(-t) (E)
Il s'agit de la solution particulière. Suit aussi alors la note selon laquelle les solutions sont de la forme suivante :
ln(t)e(-t)+L1e(-t)+L2e(-2t) (EE)

Bon là je marque une pause. Je croyais que la solution homogène était une solution générale, il semble que non suivant (EE)? De plus, la solution particulière (E) (je pense que finalement c'est la bonne? j'espère que ce n'est pas (EE), je vais au pif...un choix sur deux me diriez-vous!) est particulière mais c'est en fonction de quels paramètres que je rends la solution homogène particulière ? S'il s'agit d'entrer les conditions initiales, les paramètres sont évidents ce sont les valeurs que je mets, mais là avec cette méthode, les paramètres ne sont plus clairs? Quels sont-ils?