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Théorème d'Ascoli



  1. #1
    pointfixe

    Question Théorème d'Ascoli


    ------

    Bonjour est ce que quelqu'un pourrait m’aider à mieux comprendre le théorème d’Ascoli ?
    Il semble être un théorème important pourtant à première vu il s’applique dans des conditions tellement particulières ! à moins que la topologie de la convergence compacte soit plus répandu que je ne le pense ?

    -----

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  3. #2
    doudache

    Re : Théorème d'Ascoli

    Salut !

    En théorie spectrale, on étudie parfois ce que l'on appelle des opérateurs compacts : ce sont des applications linéaires entre espaces de Banach qui vérifient une propriété supplémentaire : l'image de la boule unité est relativement compacte (c'est-à-dire d'adhérence compacte). Il y a beaucoup de cas où on utilise le théorème d'Ascoli pour montrer qu'un opérateur est compact. Par exemple, l'inclusion des fonctions a-hölderiennes sur un compact K dans l'ensemble des fonctions b-hölderiennes sur le même compact est un opérateur compact (si, bien sûr, a > b).

    Pour d'autres applications très puissantes, tu peux regarder le livre de Rudin (complex and real analysis), dans lequel tu trouveras le théorème de l'application conforme de Riemann, qui dit qu'à isomorphisme biholomorphe près, il n'y a que deux classes d'ouverts connexes simplement connexes : le plan et les autres.

    Comme autre application, il y a aussi le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov (dans le brézis, analyse fonctionnelle) qui caractérise les parties relativement compactes de L^p.

    Dans un autre style, le théorème de Cauchy-Péano (existence d'une solution locale d'une équation différentielle avec très peu d'hypothèses) peut se démontrer grâce à Ascoli (voir par exemple, le Zuilly Queffelec)

  4. #3
    rvz

    Re : Théorème d'Ascoli

    Salut,

    lol
    Il y en a qui préparent vraiment l'agreg ! Tu as déjà fait la leçon Compacité, exemples et applications ? Je l'avais tapé il y a quelques temps sur ma page web, mais je n'avais pas mis autant de choses. Bravo !

    __
    rvz

  5. #4
    doudache

    Re : Théorème d'Ascoli

    Yé souis démasqué ! J'ai préparé "utilisation de la continuité uniforme en analyse" cette année, donc c'est pour ça que j'ai toutes les références !

    Au fait, j'ai oublié "continues" dans ma définition des opérateurs compacts.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    pointfixe

    Re : Théorème d'Ascoli

    Merci bien je vais regarder tout cela de plus pres...

  8. #6
    ovnissien

    Wink Re : Théorème d'Ascoli

    Bonjour,
    Qu'est ce qu'un noyau reproduisant?
    quel est le lien avec le theoreme d'ascoli?

    merci.

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  10. #7
    doudache

    Re : Théorème d'Ascoli

    Salut !

    Si tu donnes un sous-espace vectoriel H de CX (les fonctions de X dans C) muni d'une structure d'espace de Hilbert, alors un noyau reproduisant de H, c'est une fonction K de X2 dans C, telle que
    - K(.,x) est dans E pour tout x dans X
    - <f|K(.,x)> = f(x) pour tout f dans E et tout x dans X

    Mais je ne vois pas trop le rapport que ça a avec Ascoli.

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