Exercice classique Normes matricielles

[invite45ca6d89]

Bonjour à tous,

j'ai besoin de votre aide car j'ai un doute sur une partie d'un exercice

Soit la matrice définie par :



l'énoncé ne dit rien sur ...

1) Vérifier si V est Unitaire ? Hermitienne ? Orthogonale ? Normale ?

Donc on a :


On a
Notre matrice V est donc unitaire. Elle est donc orthogonale (étant donné que nos coefficients sont réels).
On a donc V normale (car toute matrice unitaire ou orthogonale est normale).
Cependant elle n'est pas hermitienne car .

2) On a le vecteur

Calculer la norme . Ici pas de problème je trouve .
Calculer la norme de V(u). Ici toujours pas de problème je trouve le même résultat.
Vérifier ce résultat par application d'un théorème avec sa démonstration. Là toujours pas de problème : conservation de la norme par application d'un opérateur unitaire.

C'est là où j'ai un doute :
3) On définit la norme matricielle subordonnée à la norme vectorielle par :


Quelle est la norme matricielle de la matrice V ? justifier votre réponse.

Suffit-il de dire que comme (car V unitaire) on a ?

D'autre part, si V n'était pas unitaire, comment procéder ?
Faut-il utiliser cette égalité ? :


Est-il possible d'avoir des indications pour la démonstration de cette égalité ?

Merci d'avance pour votre aide
-----

[invited5b2473a]

3) Oui car ||V(u)||/||u|| = 1 pour tout u différent de 0.

[invite45ca6d89]

Merci de ta réponse rapide indian58

cela est du à la conservation de la norme... OK

et dans le cas où V n'est pas un opérateur unitaire et qu'on n'a donc pas la conservation de la norme ? Que faire ?

Merci

[invited5b2473a]

Merci de ta réponse rapide indian58

cela est du à la conservation de la norme... OK

et dans le cas où V n'est pas un opérateur unitaire et qu'on n'a donc pas la conservation de la norme ? Que faire ?

Merci

Au cas par cas.

[A voir en vidéo sur Futura]