Espace vectoriel

[invite466d2360]

Bonjour, j'ai des quelques soucis avec cet exercice :


Pour les affirmations suivantes, dites pourquoi elles sont vraies ou fausses :

1. L’intersection de deux sous-espaces vectoriels peut être vide. FAUX
2. Si un ensemble contient toutes les droites vectorielles engendrées par ses vecteurs,
alors c’est un espace vectoriel. FAUX
3. Si un ensemble contient tous les plans vectoriels engendrés par deux de ses
vecteurs, alors c’est un espace vectoriel. VRAI
4. Si un ensemble contient toutes les combinaisons linéaires de 3 quelconques de
ses vecteurs, alors c’est un espace vectoriel. VRAI
5. Si un ensemble contient la somme de deux quelconques de ses vecteurs, c’est
un espace vectoriel. FAUX

Pour la 1) J'ai dit que 2 sev auront au moins le vecteur nul en commun qui n'est pas vide.Donc FAUX.
2) La somme de 2 éléments de l'ensemble n'appartient pas à l'ensemble, ce n'est donc pas un ev. C'est la réunion des droites vectorielles qui est égale E. (peut-être pas terrible comme justification non...?) Qu'en pensez-vous...?
3-4-5 Je bloque...

D'avance merci,

Mägodeoz
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[invited5b2473a]

1) ok
2) Tu donnes un contre-exemple : Deux vecteurs (0,1) et (1,0). Alors (0,1)+(1,0) n'appartient pas à (0,1)R U (1,0)R.
3) Tu appliques la définition. Le fait d'engendrer des plans vectoriels te donne la stabilité qui te faisait défaut dans 2).
4) Pour 4 tu te ramènes à 2) en considérant 2 vecteurs + le vecteur nul.
5) Tu donnes un contre exemple (comme l'ensemble engendré par (1,0) et (0,1).

[invite466d2360]

Merci de votre réponse.

Pour la 2) Alors (0,1)+(1,0) n'appartient pas à (0,1)R U (1,0)R. Pourquoi ce R en facteur? Que signifie-t-il?
3)De quelle définition parlez-vous?....
4)faut-il nécessairement que l'un des 3 vecteurs soit le vecteur nul?
5) ok, je pense avoir compris...

[invite466d2360]

Vous vouliez dire (0,1) et (1,0) de dimension R donne R² ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

2) R désigne l'ensemble des réels et (0,1)R représente la droite vectorielle engendrée par (0,1).
3) La définition d'un sous espace vectoriel( puisque tu veux montrer que c'en est un).
4) Oublie ce que j'ai dit!! Cette affirmation est fausse. (trouve un contre-exemple).

[invite466d2360]

Ok pour la 2.
Pour la 3) Un sous espace vectoriel vérifie:
La somme vectorielle de deux vecteurs de F appartient à F ;
La multiplication d'un vecteur de F par un scalaire appartient à F.
C'est de cette définition à laquelle tu fais allusion?
Pour la 4) Apparemment je suis sensé prouver qu'elle est juste...

[invited5b2473a]

3) oui
4) Désolé, j'ai mal lu l'énoncé. Donc comme je le disais, tu te ramènes à 3) : toute CL de trois vecteurs est dans ton ensemble. Donc, tu prends trois vecteurs quelconques u, v, w, alors a*u+b*v+0*w=a*u+b*v est dans ton ensemble i.e. tout plan vectoriel engendré par deux vecteurs est dans ton ensemble...

[invite466d2360]

J'ai un peu de mal à comprendre comment je peux répondre à la 3) avec la définition 0_o

[invited5b2473a]

J'ai un peu de mal à comprendre comment je peux répondre à la 3) avec la définition 0_o

Tu l'appliques : soit deux vecteurs de ton ensemble E u et v, montrons que u+v et k*u sont dans E (k un réel quelconque). alors par hypothèse, le plan engendré par u et v est dans E. Or u+v et k*u sont dans ce plan. Donc u+v et k*u sont dans E. Conclusion, E est un sev.

[invite466d2360]

Merci beaucoup indian pour votre aide précieuse. En vous souhaitant une bonne soirée.