[L3] Petites questions d’algèbre !

[invite88559944]

Bonjour à tous,

Je suis en pleines révisions et j'ai quelques TGV de retard !

Je voulais savoir si quelqu'un avait la foi piour faire cet exercice (auquel je ne comprend pour le moment pas grand chose !)


Soit G un groupe, H un sous-groupe distingué de G, K le groupe quotient G/H et : G K le morphisme de groupes canonique.

1. On suppose qu'il existe un morphisme de groupes s : G H tel que, pour tout x H, s(x) = x.
   Montrer que G est isomorphe au produit direct H x K.
   (On pourra montrer que l'application A : G H x K définie par A(g) = (s(g),(g)) est un isomorphisme de groupes.)
   
2. On suppose qu'il existe un morphisme de groupes r : K G tel que, pour tout k K, (r(k)) = k.
   1. Montrer que, pour tout k K, l'application _k définie sur H par _k(h) = r(k) h r(k)^-1 est un automorphisme de groupes de H, puis que l'application de K dans Aut(H) [= l'ensemble des automorphismes de H ] qui à tout k K associe _k est un morphisme de groupe ; K agit donc sur H par k.h = r(k) h r(k)^-1
   2. Montrer que G est isomorphe au produit semi-direct H x K, K agissant sur H par l'action définie dans la question précédente.
      (On pourra montrer que l'application B : H x K G définie par B(h,k) = hr(k) est un isomorphisme de groupes.)

Merci d'avance !
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[Seirios]

Bonjour,

Sur ce forum, on préfère habituellement aider à faire un exercice plutôt que faire un exercice à la place de quelqu'un d'autre. Donc je te propose te décrire ce que tu as essayé de faire pour l'instant. Pour la première question, on te donne une application et il faut montrer que c'est un isomorphismes de groupes, donc tu dois montrer (i) que c'est un morphisme, (ii) montrer qu'il est surjectif et (iii) montrer qu'il est injectif (en calculant son noyau).

[invite88559944]

Merci pour ta réponse,

En fait pour la 1, j'ai du mal avec le morphisme "s" par ex pour montrer que "A" est un morphisme Ca donne Ca :

g,g' dans G, A(gg')=(s(gg'),p(gg'))=(gg',gg 'H)=(gg',gHg'H)=*(g,gH)(g',g'H )=A(g)A(g')

Mais g,g' sont dans G et donc ça donne plus quelque chose du genre G x K que H x K !

Et ça me fait aussi bloquer sur la surjectivité!

[Tiky]

Attention, s est l'identité sur H et non sur G. Tu sais en revanche que s est un morphisme et donc s(gg') = s(g)s(g').
Une autre manière pour montrer que c'est bien un isomorphisme (après avoir montré que c'était un morphisme) est de trouver sa fonction réciproque.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88559944]

J'ai du mal avec l'identité sur H et pas sur G,

Par ex si On prend un g dans G\H, s(g)= ?

[invite88559944]

(Y'a pas la fonction éditer sur iPhone!)

1. Injectivité ça passe pas non plus :
Ker(A)={g€G|A(g)=(1,H)}
D'où s(g)=1 et p(g)=H (donc g€H)
Je bug sur le s(g) = 1, si g n'est pas dans H, il se peut quon ait s(g) = 1 ou pas ?

[Tiky]

On ne sait pas comment est le morphisme s en dehors de H. On te dit juste qu'il existe un morphisme de G dans K dont la restriction à H est l'identité.
Pour l'injectivité, tu as écrit la réponse dans ton propre message. Pour que g soit dans le noyau, il faut et il suffit que s(g) = 1 ET p(g)=H. C'est équivalent à
g est dans H ET s(g) = 1. Or s(g) = g dans ce cas. Donc g = 1.

[Tiky]

Petite coquille, je voulais dire que s est un morphisme de G dans H évidemment.

[invite88559944]

D'accord !

Par contre pour la surjectivité (x2 avec la question 2) je n'y arrive vraiment pas !