Bonjour à tous,
Je suis en pleines révisions et j'ai quelques TGV de retard !
Je voulais savoir si quelqu'un avait la foi piour faire cet exercice (auquel je ne comprend pour le moment pas grand chose !)
Soit G un groupe, H un sous-groupe distingué de G, K le groupe quotient G/H et: G
K le morphisme de groupes canonique.
Merci d'avance !
- On suppose qu'il existe un morphisme de groupes s : G
H tel que, pour tout x
H, s(x) = x.
Montrer que G est isomorphe au produit direct H x K.(On pourra montrer que l'application A : GH x K définie par A(g) = (s(g),
(g)) est un isomorphisme de groupes.)
- On suppose qu'il existe un morphisme de groupes r : K
G tel que, pour tout k
K,
(r(k)) = k.
- Montrer que, pour tout k
K, l'application
k définie sur H par
k(h) = r(k) h r(k)-1 est un automorphisme de groupes de H, puis que l'application
de K dans Aut(H) [= l'ensemble des automorphismes de H ] qui à tout k
K associe
k est un morphisme de groupe ; K agit donc sur H par k.h = r(k) h r(k)-1
- Montrer que G est isomorphe au produit semi-direct H x
K, K agissant sur H par l'action définie dans la question précédente.
(On pourra montrer que l'application B : H xK
G définie par B(h,k) = hr(k) est un isomorphisme de groupes.)
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