questions en algèbre linéaire

[invite371ae0af]

bonjour,
j'aurai quelques questions à propos des espaces vectoriels:
est ce qu'une famille qui est libre et toujours génératrice?

On considère f un endomorphisme dans R³, montrer que R³= Kerf+ Imf
Là j'ai dit que Par définition ker f est un seV de R³ et Imf aussi. Donc kerf+imf inclus dans R³. Comme dimR³=dim Kerf + dim Imf on a R³= Kerf+ Imf
mais est on obligé de montrer une inclusion? l'égalité des dimensions ne suffit elle pas?

si on a une expression du type a1f(e1)+a2f(e2)-a3v=0 et que je trouve a1=a2=a3=0. Est ce que ca entraine que c'est la famille {f(e1),f(e2),v} qui est libre ou la famille {f(e1),f(e2),-v}?

merci de vos réponses
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[invite57a1e779]

Bonjour,

est ce qu'une famille qui est libre et toujours génératrice?

Non : une famille réduite à un vecteur non nul est toujours libre. Elle est génératrice dans le seul cas où l'espace est de dimension 1.

On considère f un endomorphisme dans R³, montrer que R³= Kerf+ Imf
Là j'ai dit que Par définition ker f est un seV de R³ et Imf aussi. Donc kerf+imf inclus dans R³. Comme dimR³=dim Kerf + dim Imf on a R³= Kerf+ Imf
mais est on obligé de montrer une inclusion? l'égalité des dimensions ne suffit elle pas?

Non, l'égalité des dimensions est loin d'être suffisante.
Si Ker f est un plan, de dimension 2, alors Im f est de dimension 1, c'est une droite ; cette droite peut très bien être incluse dans le plan Kerf auquel cas Kerf+Imf=Kerf n'est pas R³.

La relation R³= Kerf+ Imf n'est pas vraie pour tout endomorphisme f ; il faut que l'énoncé te donne une propriété supplémentaire sur f.

si on a une expression du type a1f(e1)+a2f(e2)-a3v=0 et que je trouve a1=a2=a3=0. Est ce que ca entraine que c'est la famille {f(e1),f(e2),v} qui est libre ou la famille {f(e1),f(e2),-v}?

Réfléchis bien : les deux familles sont libres.

[Tiky]

Une famille libre n'est pas nécessairement génératrice. Une famille constituée d'un seul vecteur est toujours libre et si elle était génératrice, ton espace serait alors de dimension 1. Tu vois bien le dilemme.

Ton énoncé est incomplet.
Il est clair que .

On sait de plus que
Le théorème du rang nous donne en plus que :

Donc :

On voudrait donc que , c'est-à-dire que
Cette dernière assertion n'est pas toujours vraie.

[invite371ae0af]

c'est après qu'on parle de l'intersection de imf et kerf


sinon pour en revenir au famille génératrice:
il faut que la dimension de la famille soit égale à la dimension de l'espace pour qu'elle soit génératrice?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Lorsque tu as un espace de dimension n et une famille qui a p éléments.

Si p<n, alors la famille peut être libre, mais n'est pas génératrice.
Si p>n, alors la famille peut être génératrice, mais n'est pas libre.

Si p=n, alors:
– ou bien elle est libre et génératrice, et c'est une base ;
– ou bien elle n'est ni libre, ni génératrice.

[invite371ae0af]

donc imaginons que je sois dans R³
la famille (e1,e2,e3} est libre donc elle est forcément génératrice

[Tiky]

donc imaginons que je sois dans R³
la famille (e1,e2,e3} est libre donc elle est forcément génératrice

Oui exactement.

[invite371ae0af]

j'aurais en core une question à propos de ca:
On considère f un endomorphisme dans R3, montrer que R3= Kerf+ Imf
Là j'ai dit que Par définition ker f est un seV de R3 et Imf aussi. Donc kerf+imf inclus dans R3. Comme dimR3=dim Kerf + dim Imf on a R3= Kerf+ Imf

là j'ai montrer l'inclusion dans un sens et après j'utilise le théorème pour prouver que c'est égal
est ce juste?

si oui pourquoi faut il que l'intersection entre ker f et im f soit nulle?

[invite57a1e779]

j'aurais en core une question à propos de ca:
On considère f un endomorphisme dans R3, montrer que R3= Kerf+ Imf

Cet énoncé est faux.

Si tu considères l'endomorphisme dont la matrice dans la base (e1,e2,e3) est :



alors Ker f = Vect(e1,e2),
et Im f = Vect(e1)
donc Ker f + Im f = Vect(e1,e2)
alors que R³ = Vect(e1,e2,e3).

[invite371ae0af]

en faite l'énoncé complet est montrer que Ker f + Im f =R3 et montrer que l'intersection de ker f et im f est nulle
cette fois si je fais comme j'ai fais avant c'est juste ou pas?

[invite57a1e779]

Oui, mais il doit y avoir une hypothèse sur f.
On ne peut pas démontrer ce résultat pour tout endomorphisme de R³, puisque j'ai donné un contre-exemple.

[invite371ae0af]

f est linéaire
f(e1)=(1/6)(5e1-2e2+e3)
f(e2)=(1/3)(-e1+e2+e3)
f(e3)=(1/6)(e1+2e2+5e3)

avec e1=(1,0,0) e2=(0,1,0) e3=(0,0,1)

[invite57a1e779]

Alors qu'as-tu trouvé pour Ker f et Im f ?

[invite371ae0af]

comme base de ker f j'ai trouvé ({-1,-2,1)
Im f={(1/6)(5,-2,1),(1/3)(-1,1,1)}
Imf={u dans R^3, f(u)=u}

[invite57a1e779]

En regroupant les bases, tu vois que Ker f + Im f est engendré par (-1,-2,1), (1/6)(5,-2,1), (1/3)(-1,1,1).

Tu veux savoir si cette famille engendre R³ : comme elle est constituée de 3 vecteurs et que R³ est de dimension 3, il te suffit de vérifier que cette famille est libre.

Tu écris qu'une combinaison linéaire des trois vecteurs est nulle, tu résous le système obtenu, et tu devrais te retrouver avec les coefficients nuls.

[invite371ae0af]

dans mon cours j'ai une démo ou on a une B inclus dans A et card A=card B=n
par la suite on a dit que B=A
Pourquoi ne peut on faire ca ici?

si je te comprend bien pour montrer l'égalité je procède par double inclusion?

[invite57a1e779]

Comme dimR3=dim Kerf + dim Imf on a R3= Kerf+ Imf

Pour conclure à R³ = Ker f + Im f, il te faudrait savoir :
dim(R³) = dim(Ker f + Im f)
alors que tu as prouvé :
dim(R³) = dim(Ker f) + dim(Im f).

Malheureusement la formule :
dim(Ker f + Im f) = dim(Ker f) + dim(Im f)
est fausse.

C'est pour cela que tu es obligé de prouver que R³ et Ker f + Im f sont engendrés par la même famille.
Tu connais une famille génératrice de Ker f + Im f, donc tu vas prouver que c'est une famille génératrice de R³.

Mais pour te simplifier la vie, tu vas profiter que cette famille a le bon nombre de vecteurs, c'est-à-dire dim(R³), pour te ramener à prouver qu'elle est libre, parce qu'on est en général plus à l'aise pour prouver qu'une famille est libre plutôt que génératrice.

[invite371ae0af]

après dans la suite on me me demande ce qu'on peut dire de B1 U B2. avec B1 base de ker f et B2 base de Im f;
là j'ai dit que B1 U B2 est une base de R³


d) écrire les vecteur e1,e2,e3 dans la base B1 U B2
là pas de problème
e) montrer que f²=f
là je ne vois pas du tout comment faire j'ai pensé à prendre un vecteur u dans R³ ce qui donne (f(u))²=f(u)
mais après je vois pas comment continuer

[invite57a1e779]

Attention ! f²(u), ce n'est pas (f(u))², carré qui n'a aucun sens pour un élément f(u) de R³, mais : f²(u)=f(f(u)).

[invite371ae0af]

oui j'ai vu que j'avais fais une faute en tapant, je sait qu'il s'agit d'une composition mais comment prouver l'égalité

[invite57a1e779]

Tout simplement en calculant f(f(u)).

[invite371ae0af]

f²(u)=a1f²(e1)+a2f²(e2)+a3f²(e 3) mais comment montrer que f²(e1)=f(e1)

[invite57a1e779]

Que vaut f(e1) ?

[invite371ae0af]

f(e1)=(1/6)(5e1-2e2+e3)

[invite57a1e779]

Donc f(f(e1))=f((1/6)(5e1-2e2+e3))=(1/6)(5f(e1)-2f(e2)+f(e3))=...

[invite371ae0af]

oui merci j'ai compris