Quelques questions en algèbre linéaire (prépa).

[invitea250c65c]

Bonjour à tous,

J'ai quelques questions à vous poser en algèbre linéaire, quelques points de cours ou exercices que je ne comprends pas bien. Voici la première :

K désigne ou .
Soit et . Je n'arrive pas à comprendre ceci :
1. est de la forme pour un certain .
2. Si n est pair : est semblable à ou p et q sont des entiers de somme n.

Pouvez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance.
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[inviteaf1870ed]

Pour M²=0, fais la chose suivante :
-D'abord tu remarques que kerf contient Im f
-Ensuite tu construis une base de ton ev avec (k1......kp) une base de Kerf, et tu complètes par des vecteurs (u1......un-k)
-Regarde l'allure de M dans cette base.

[invitea250c65c]

Je corrige une petite erreur :

1. est de la forme pour un certain .

C'est : est semblable à une matrice de la forme biensur.

Merci, j'ai réussi la première.

Par contre la deuxième ne m'inspire pas beaucoup.
Le prof nous a donné une autre forme pour la matrice, une matrice diagonale par blocs 2x2 (0..-1 // 1..0), je ne sais pas si ça peut aider.
C'est quand même étonnant qu'il arrive à sortir le résultat comme ça, je ne trouve pas ce genre de choses très intuitif (même après une démo, on dit "en effet ça marche" mais ça ne saute pas aux yeux en général, sauf cas triviaux genre M^2=I).

Une piste ?

Merci d'avance.

[invitea250c65c]

Personne n'a d'idée pour la dernière ? j'ai recherché un peu et je ne vois toujours pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Il te faut établir l'existence d'une base de la forme qu'il est plus simple de construire par récurrence sous la forme , en travaillant avec des couples de vecteurs .