Changement de base pour application linéaire

[invite13b154dd]

Bon voici mon problème,

Soit b₁=i + k, b₂=j + k deux vecteurs de V³. Soit T la symétrie orthogonale par rapport au plan [b₁,b₂].

Donner [T]_c ou C = (i,j,k)

Bon maintenant qu'est-ce que moi j trouvé c b₁= i +k,b₂= j+k et b₃ = b₁ X b₂ = -i -j + k

Maintenant, on a une fonction de symétrie par rapport au plan énoncé alors je me suis dit que
T(b₁)= -j + k
T(b₂)= -i + k
T(b₃)= i + j + k

j'ai trouvé une matrice de transition _cP_b= [ 0 -1 1 (1er ligne), -1 0 1 (2eme ligne);1 1 1 (3eme ligne)]

qui m'a permis de trouver _bP_c = 1/3 [ -1 -2 -1;-2 -1 -1; -1 -1 -1]

il me manque donc un morceau pour finir et puis c'est [T]_b que je n,arrive pas à trouver...svp...un peu d'aide ...merci !!
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[invite57a1e779]

T(b₁)= -j + k
T(b₂)= -i + k
T(b₃)= i + j + k

Ces formules me semblent parfaitement fausses... ou alors je n'ai rien compris à la symétrie.

[invite13b154dd]

c possible car c moi qui les a trouver mais alors ca ressemblerai à quoi ?

[invitead1578fb]

Bonjour,

tu as donc tes vecteurs:

T la symétrie orthogonale par rapport au plan [b1,b2].

Il suffit de voir que les colonnes de T sont formées par les images des vecteurs:



Introduisons la projection orthogonale, p sur le plan , appelons P, l'image de M par cette application, et appelons M' l'image de M par l'application T ( un dessin aide à bien voir ce qui suit):


il suffit d'écrire simplement et le tour est joué

Il convient de voir que

On a donc trouvé :


Pour finir il suffit donc d'appliquer la formule aux vecteurs , soit calculer quelques poduits scalaires

Voila, j'espère ne pas avoir fait d'erreur(s)
Bonne journée
Blable

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite13b154dd]

Merci de ton aide ...mais honnêtement je m'y perds un peu ....

il y aurait pas une manière plus simple avec cette formule

[T]_c=_cP_b[T]_bbP_c

....c comme sa que je l'ai appris...

[invitead1578fb]

Rebonsoir,

je proposais une méthode alternative, qui à mon sens est la plus simple. Si tu préfères faire la méthode du cours, détaille un peu ce que tu appelles base "b" (Tb) et comme te le faisait remarquer God's Breath, tes transformées des vecteurs et sont fausses pour la simple raison qu'ils sont invariants par la symétrie orthogonale par rapport aux plans que ces deux vecteurs forment.

Blable