diagonalisation d'une matrice

invitef7cb9c5c · 13/03/2010, 09h55

bonjour
est-ce que la matrice de passage d'une matrice carré A a sa matrice diagonale est la base dans laquelle A s'écrit sous sa forme diagonale
soit A dans une base canonique
et D sa matrice diagonalisée dans la base B
alors B est formée des vecteurs propres associée au valeur de A?
est-ce que je me trompe
fifrelette

**Armen92** · 13/03/2010, 11h09

Envoyé par fifrelette

bonjour
est-ce que la matrice de passage d'une matrice carré A a sa matrice diagonale est la base dans laquelle A s'écrit sous sa forme diagonale
soit A dans une base canonique
et D sa matrice diagonalisée dans la base B
alors B est formée des vecteurs propres associée au valeur de A?
est-ce que je me trompe
fifrelette

Si la matrice $\text{[math]}$ est diagonalisable, on forme la matrice de passage $\text{[math]}$ ayant en colonne les composantes des vecteurs propres. On a alors :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ étant la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres de $\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ n'est pas diagonalisable, il faut compléter le système (incomplet) de ses vecteurs propres par des vecteurs linéairement indépendants. La même relation que ci-dessus existe avec une matrice triangulaire $\text{[math]}$ .

**taladris** · 13/03/2010, 13h12

Si $\text{[math]}$ n'est pas diagonalisable, il faut compléter le système (incomplet) de ses vecteurs propres par des vecteurs linéairement indépendants. La même relation que ci-dessus existe avec une matrice triangulaire $\text{[math]}$ .[/QUOTE]

On peut être un peu plus précis. Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynome caractéristique est scindé. Il faut donc faire attention au corps sur lequel on travaille.

Par exemple, $\text{[math]}$ n'est pas trigonalisable en tant que matrice réelle mais diagonalisable en tant que matrice complexe.

Cordialement

**Armen92** · 13/03/2010, 14h08

Envoyé par taladris

On peut être un peu plus précis. Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynome caractéristique est scindé. Il faut donc faire attention au corps sur lequel on travaille.

Par exemple, $\text{[math]}$ n'est pas trigonalisable en tant que matrice réelle mais diagonalisable en tant que matrice complexe.

Evidemment, vous avez raison.
J'avais (implicitement, il est vrai) supposé que l'on travaille sur $\text{[math]}$ , pour pouvoir impliquer le théorème fodamental de l'algèbre.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitef7cb9c5c · 13/03/2010, 15h19

merci
fifrelette

diagonalisation d'une matrice