Diagonalisation d'une matrice

[invite234d9cdb]

Bonjour,

je cherche à diagonaliser la matrice . Je trouve sans trop de mal qu'il y a deux valeurs propres, 3 et 0. je cherche ensuite les vecteurs propres. Je trouve respectivement (1,1) et (1,-2).

Ensuite d'après mon cours, ces deux vecteurs doivent être libres car issus de valeurs propres différentes. Et on me dit aussi que deux vecteurs libres dans R² forment une base de R². Enfin, et c'est peut-être là que quelque chose ne va pas, on me dit que si je peux construire une base de R² avec les vecteurs propres de A (ce qui est bien le cas ici), alors A est diagonalisable.

Bon, je prends alors les deux vecteurs ci-dessus et je les orthonorme. J'obtiens et . Je construis alors une matrice orthogonale grâce à ces deux vecteurs : et je calcule ensuite . Pas de chance j'obtiens une matrice triangulaire supérieure, et non pas une diagonale ! Pourquoi ? Qu'ais-je manqué ?

D'avance merci pour toute aide !
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Bon, je prends alors les deux vecteurs ci-dessus et je les orthonorme. J'obtiens et .

Tu as mal normalisé le second vecteur propre. Tu devrais trouver (et d'ailleurs la base formée de ces deux vecteurs n'est pas orthonormée puisque les vecteurs propres ne sont pas orhtogonaux).

[invite234d9cdb]

Attention je bien précisé que j'ai orthonormé les deux vecteurs, pas juste normé comme tu le fais ici. Tu peux d'ailleurs vérifier que la matrice B est bien orthogonale : . Le problème ne vient donc pas à priori de là.

[Flyingsquirrel]

Attention je bien précisé que j'ai orthonormé les deux vecteurs, pas juste normé comme tu le fais ici.

Mais tu n'as pas le droit de faire ça. Rien ne te garantit que les deux vecteurs de la base orthonormée sont des vecteurs propres de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite234d9cdb]

Ah le voilà le problème

Les deux vecteurs (1,1) et (1,-2) forment une base de R² et donc la matrice A est diagonalisable. Ma question comment puis-je dès lors trouver une matrice B inversible telle que sera diagonale ?

[Flyingsquirrel]

Ma question comment puis-je dès lors trouver une matrice B inversible telle que sera diagonale ?

La matrice qui permet de passer de la base formée des vecteurs propres à la base canonique convient.

[invite234d9cdb]

Tiens oui -_- J'ai été chercher midi à 14h on dirait avec mes histoires plus haut... mille merci

[invite234d9cdb]

Ah une dernière chose : je prends note que pour diagonaliser une matrice A, les colonnes de B doivent être les vecteurs propres de A.

Qu'en est-il si je souhaite juste triangulariser A ? Plus haut j'ai "accidentellement" obtenu une triangularisation de A en utilisant les vecteurs propres de A préalablement orthonormés. Dois-je conclure que pour triangulariser A je dois utiliser une matrice inversible B telle que les colonnes de B sont les vecteurs propres de A préalablement orthonormés ?

[Flyingsquirrel]

Dois-je conclure que pour triangulariser A je dois utiliser une matrice inversible B telle que les colonnes de B sont les vecteurs propres de A préalablement orthonormés ?

Tu ne dois pas, tu peux.

Effectivement si est diagonalisable, si est une base de vecteurs propres et si est la base obtenue en appliquant le procédé de Gram-Schmidt aux comme suit :

on voit que

1. on peut exprimer chaque vecteur comme une combinaison linéaire des avec .
2. chaque s'exprime comme une combinaison linéaire des avec

Du deuxième point on déduit que, pour un entier donné, est une combinaison linéaire des () car ces derniers sont des vecteurs propres de . Et comme pour les sont des combinaisons linéaires des avec (premier point), on obtient finalement que est aussi une combinaison linéaire des avec . Du coup la matrice de dans la base est triangulaire supérieur...

Mais pourquoi vouloir trigonaliser alors qu'on peut diagonaliser ?

[invite234d9cdb]

Oh parce que j'ai un examen là-dessus dans une semaine, je me vois mal écrire sur ma feuille "je refuse de triangulariser une matrice qui peut être diagonalisée !" Note que ce serait assez cocasse

Merci pour tout et à la prochaine

[invitec317278e]

Oh parce que j'ai un examen là-dessus dans une semaine, je me vois mal écrire sur ma feuille "je refuse de triangulariser une matrice qui peut être diagonalisée !" Note que ce serait assez cocasse

Merci pour tout et à la prochaine

Ceci dit, une diagonalisation est une trigonalisation, ya simplement des 0 quasi partout.