Deux questions en algèbre linéaire (L2).

[invite007d34f0]

Bonjour à tous,

J'ai quelques questions à vous poser en algèbre linéaire.
Merci d'avance.

http://i3.6.cn/cvbnm/30/8c/a0/a64a61...e520893c04.jpg

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[maatty]

ça fait beaucoup de question et cela fait quelque temps que je n'ai pas vu cela mais voici des elements de réponse:
Ex1 : 1)soit (e1,e2,e3) base canonique de R3 et (e*1,e*2,e*2)sa base duale
alors, f(e1)= 2=2e*1 (e1) (par def de la base duale)
f(e2)=3=3e*2(e2) et f(e3)=-1=-e*3(e3) on en déduit donc que
f=2e*1+3e*2-e*3 et de même g=-e*2-e*3 et h=2e*1+e*2+2e*3
2)on montre que c'est une famille libre:
A.f+B.g+C.h=0 =>(2A+2C)e*1+(3A-B+C)e*2+(-A-B+2C)e*3=0,or {e*i}base donc libre donc on obtient le système: 2A+2C=0,3A-B+C=o etc et finalement A=B=C=0 =>{f,g,h} libre or dim(dual)=dim(R3)=3 ainsi libre maximale donc base
3) soit (a1,a2,a3) cette base ;a1(x1,y1,z1),a2(x2;y2,z2)etc. .
par definition f(a1)=1,g(a1)=0,h(a1)=0 ceci donne un systeme de 3 eq à 3inconnues qu'on résoud .puis de même on fait g(a1)=0,g(a2)=1 et g(a3)=0
on a finalement 3 systemes qui nous donnent les coordonnées de la base duale de (f,g,h) (et qui est une base de R3)
Ex2 :
=> utiliser th du rang
<= trivial