Integrales simples :p

[invite30d4ce4f]

Bonjour, POurriez vous m'aider s'il vous plait ?

1- Soit f la fonction définie sur [1;+OO[ par f (x) : x/ (e^x-1) et soit H la fonction définie sur [1;+00[ par H (x) : INtegrale de 1 à x f(t) dt

a- Justifier que f et H sont bien définies sur [1; +00[
(Il faut voir si la fonction est continue mais lorque j'étudie le signe du dénominateur je ne retrouve pas 1 :s )

b- Quelle relation existe-t-il entre H et f ?

c- Soit C la courbe representative de f dans un repere orthonormal (o,i,j) du plan. Interpréter en termes d'aires le nombre H(3).

Voila. Merci de m'aider :s
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[Bleyblue]

Bonjour,

On ne peut pas t'aider si tu ne montres pas que tu as travaillé sur ton exercice ...
Tu dois nous dire où tu bloques et ce qui ne va pas ...

[invite30d4ce4f]

Pour la 1-a- Je dérive f et je trouve ( e^x(1-x) -1 ) / (e^x-1)^2

Ensuite je crois qu'on peut faire ca =

x superieure a 0

e^x (1-x) -1 superieur a 0
e^x ( 1-x) superieur a 1
ln e^x (1-x) superieur a ln 1
1-x superieur a 0
-x superieur a -1
x superieur a 1

Je fais un tableau de signe pour mettre toutes ses valeurs et un tableau de variation pour montrer que la fonction est continue et la je peux dire que c'est bien définie sur [1; + 00[

Pour la b- La relation est que H est l'integrale de f ?

Pour la c - Je pense qu'il faut calculer l'integrale de H(x) pour ensuite pour voir calculer H(3)

Voila ce que j'ai trouvé jusqu'ici

[Bleyblue]

Je m'excuse je n'avais pas vu que tu avais noté une phrase expliquant ton problème dans ton premier message.

Pour le 1)

Pourquoi dérive-tu f ? Il suffit de voir que f est continue sur [1,x] et donc par le théorème fondamental du CDI, H est bien définie.
Pour f il suffit de voir que le dénominateur ne s'annule jamais sur [1,x] (il ne s'annule qu'en x = 0)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite30d4ce4f]

pour dire qu'elle est continue, il faut que je fasse =

x=0

et que je calcule (e^x)-1 = 0
(e^x) = 1
ln e^x = ln 1
x = 0

et cela prouve qu'elle est continue en [1; + 00 [ et donc bien définie sur [1;+00[ ?

[Bleyblue]

Il suffit que tu cherches les points tels que le dénominateur s'annule oui.
Donc x = 0 dans ce cas-ci
Mais 0 n'appartient pas à [1,x] pour x > 1.

Donc pour tout y dans [1,x] il existe un voisinage de y tel que f est définie par le quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur est non nul, donc ta fonction est continue.

[invite30d4ce4f]

Merci. Pour la b- j'ai mis que H est l'intégrale de f (c'est le rapport en tre H et f)

Pour la c - j'ai remarqué le lien entre l'aire et la derivée. En tapant la fonction sur la calculette, l'aire sous la courbe est infini.

[invite30d4ce4f]

Parcontre je suis seriieusement bloquée a cette questiion :s
2- On se propose, dans cette questiion, de donner un encadrement du nombre H(3).
a- Montrer que pour tout réel x superieur a 0, x/ (e^x-1) = x * e^-x / ( 1-e^-x)
J’ai seulement remarquée pour cette question que e^-x = 1/e^x
b- En deduire que integrale de 1 a 3 f(x) dx = 3 ln ( 1- 1/e^3) – ln ( 1- 1/e) – integrale de 1 a 3 ln (1-e^-x) dx
c- Montrer que si 1 < ou egal a x < ou egal a 3 alors ln (1-1/e)< ou egal a ln (1-e^-x) < ou egal a ln (1-1/e^3)
d- En deduire un encadrement de integrale de 1 a 3 ln (1-e^-x) dx puis de integrale de 1 a 3 f(x) dx

[Bleyblue]

Merci. Pour la b- j'ai mis que H est l'intégrale de f (c'est le rapport en tre H et f)

Il faut plutôt dire que la continuité résulte du théorème fondamental du calcul différentiel et intégrale

Pour la c - j'ai remarqué le lien entre l'aire et la derivée. En tapant la fonction sur la calculette, l'aire sous la courbe est infini.

Mais comment cela pourrait-il être possible ?
Tu intègres une fonction continue sur un intervalle borné donc tu dois obtenir un nombre fini.

[Bleyblue]

Pour le a) de ta question 2) une fois que tu as remarqué que c'est évident.

Pour le b) au vu de l'expression sur laquelle tu dois tomber, je comencerait par une intégration par partie.

[Thorin]

Tu intègres une fonction continue sur un intervalle fermé et borné donc tu dois obtenir un nombre fini.

juste pour rectifier l'erreur d'inattention

[Bleyblue]

Oups, ok merci

[Thorin]

Ceci dit, on peut aussi considérer que puisque les fonctions (positives) dont l'intégrale n'est pas finie sur un intervalle bornée sont dites non-intégrables, il est impossible de dire qu'on les intègre (on ne peut pas faire ce qui n'est pas faisable), et donc, il serait correct de dire que quand on intègre une fonction sur un intervalle borné, c'est qu'on peut l'intégrer, et donc, qu'on a nécessairement un nombre fini...

voilà le délire sémantique du jour ...

[invite30d4ce4f]

1° a)
la fonction f est définie sur l'ensemble des réels de [1; + ∞[ tels que ex-1≠0
Or ex-1=0 pour x=0 uniquement
donc f est définie sur [1; + ∞[

continuité: la définition n'entraine pas la continuité, contrairement à ce qui est affirmé dans les posts précédents; c'est la dérivabilité qui entraine la continuité mais avant de dériver il faut justifier que la fonction est bien dérivable
on utilise ici les théorèmes relatifs à "continuité et opérations"
f est le quotient de la fonction x->x qui est continue sur [1; + ∞[ et de x-> ex-1, qui est continue sur [1; + ∞[ et qui ne s'annule pas sur [1; + ∞[
on peut conclure que f est continue sur [1; + ∞[

f est continue donc f est intégrable sur [1; + ∞[ donc la fonction H est donc alors bien définie sur [1; + ∞[
H est la primitive de f sur [1; + ∞[ qui s'annule en x=1
donc H est dérivable sur [1; + ∞[ et sa dérivée est f
Puisque H est dérivable, alors H est continue sur [1; + ∞[

1° b) on a vu que H est la primitive de f sur [1; + ∞[ qui s'annule en x=1
donc H'=f

1° c) la fonction f est strictement positive sur [1; +∞[, donc H(3) = aire (en unités d'aires) de la partie du plan comprise entre la courbe de f , l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=1 et x=3

2° a) pour montrer l'égalité demandée, on multiplie numérateur et dénominateur par e-x et on utilise la propriété exe-x=e0=1

2° b) une intégration par parties semble appropriée ...
c) un travail sur les inégalités

[invite30d4ce4f]

C'est bon pour la 2) a- j'ai trouvé le bon résultat parcontre j'ai du mal pour ce qui est des intégrations par parties :s

[Bleyblue]

ben il faut simplement intégrer la fonction par partie :

[invite30d4ce4f]

le soucis c'est qu'on a pas vu en cours la primitive de ln :s

[invite30d4ce4f]

J'ai fait ceci :

On utilise une integration par parties = u*v - Integrale de u * v'

On pose u(x)=x ==> u'(x)= 1
v'(x)=e^-x/(1-e^-x) ==> v(x)= ln (1-e^-x)

Integrale de 1 a 3 (xe^-x)/(1-e^-x)= [xln (1-e^-x)]- integrale de 1 a 3 ln (1-e^-x) dx

Ensuite il suffit de résoudre

[invite30d4ce4f]

pour la question 2) c -

J'ai mis 1<x<3

On applique l'integrale , qu'on a trouvé à la question précédente, aux 3 membres.

ln(1-(1/ê) < ln (1-e^-x) < ln ( 1- (1/e^3)

[invite30d4ce4f]

Pour la 2) d-

je pense que ce n'est paspossible d'integrer puisqu'on ne connait pas la primitive de ln (u)

[Bleyblue]

Par partie tu as :



mais peu importe car pour le b) on ne te demande pas de calculer l'intégrale (tu aurais d'ailleurs du mal car ce n'est pas ln(x) que tu as mais quelque chose de plus compliqué)

Je jette un oeil aux autres questions

[Bleyblue]

Pour le c) je ne vois pas ce que tu veux dire par on applique l'intégrale, mais l'inégalité résulte simplement de la croissance des fonctions et

donc pour on a :

donc etc.

[invite30d4ce4f]

ensuite on fait pareil avec ln x

ln e^x < ln e^-x donc ln e^x < ln (1/e^x)

ainsi l'encadrement est vérifié

[Bleyblue]

Mais tu veux majorer (et minorer) 1 - e^-x (et par suite ln(1 - e^-x) vu que le ln est croissant sur son domaine) donc il faut continuer à majorer comme dans mon dernier message (inverser la fraction puis ajouter 1 aux deux membres).

et le d) en découle vu que si f < g alors intégrale de f est plus petit que intégrale de g