Convergence normale , uniforme , continuité

invite341bf20d · 24/04/2010, 10h17

Bonjour , j'ai besoin d'aide pour un exercice portant sur les séries.
Soit la série de fonctions $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ . Est ce que la série converge normalement sur $\text{[math]}$ ? Etudier la convergence normale de la série sur $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ . Etudier la continuité de la série sur $\text{[math]}$ .

J'ai trouvé que la série ne converge pas normalement sur $\text{[math]}$ car le $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ est une série harmonique donc divergente , alors on n'a pas la convergence normale sur $\text{[math]}$ . Pour la convergence normale sur $\text{[math]}$ la série est normalement convergente . Pour la continuité de la somme de la série , la série est normalement convergente donc uniformément convergente sur $\text{[math]}$ et de plus les $\text{[math]}$ sont continue sur $\text{[math]}$ donc la fonction $\text{[math]}$ est continue sur $\text{[math]}$ . Il reste à étudier la continuité de la fonction $\text{[math]}$ sur l'intervalle $\text{[math]}$ . Mais le problème c'est qu'il faut vérifier la convergence uniforme sur cette intervalle et je n'arrive pas à trouver comment vérifier la convergence uniforme sur cette ensemble. 1°)Comment vérifier cette convergence uniforme ? 2°) Est ce que ma résolution des questions précédentes est exacte ?
3°) Question d'ordre général , si une série ne converge pas uniformément sur $\text{[math]}$ peut-on étudier la convergence uniforme de manière local comme sur $\text{[math]}$ ?
Merci.

invite57a1e779 · 24/04/2010, 10h26

La continuité est une propriété locale : la fonction $\text{[math]}$ est continue en tout point $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ parce qu'elle est continue sur $\text{[math]}$ .

Si une série ne converge pas uniformément sur $\text{[math]}$ , on peut effectivement étudier la convergence uniforme localement ; on ne pourra atteindre par ce moyen que des propriétés locales de la somme (continuité, dérivabilité,...), mais pas les propriétés globales (uniforme continuité,...).

invite341bf20d · 24/04/2010, 10h32

Et pour la question 1°) et la question 2°) ??

invite57a1e779 · 24/04/2010, 10h39

Envoyé par Sam*

Mais le problème c'est qu'il faut vérifier la convergence uniforme sur cette intervalle et je n'arrive pas à trouver comment vérifier la convergence uniforme sur cette ensemble. 1°)Comment vérifier cette convergence uniforme ?

La convergence uniforme n'est qu'une condition suffisante pour obtenir la continuité de la somme de la série.
Pour la série en question, je ne pense pas qu'il y ait convergence uniforme sur les $\text{[math]}$ .
L'intérêt de l'étude locale est de prouver la continuité, propriété locale, sans passer par un résultat global qui est, soit inexistant, soit difficile à obtenir.

Envoyé par Sam*

2°) Est ce que ma résolution des questions précédentes est exacte ?

Oui

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitec317278e · 24/04/2010, 10h56

Salut,

1°)Comment vérifier cette convergence uniforme ?

En fait, s'il y avait convergence uniforme sur $\text{[math]}$ , on pourrait intervertir les limites, et donc, d'un côté, la "fonction somme" tendrait vers 0 en plus l'infini (quand x tend vers l'infini, hein), et d'un autre (calcul un peu moins simple), vers $\text{[math]}$ .
Il n'y a donc pas convergence uniforme sur un tel intervalle.

invite341bf20d · 24/04/2010, 11h08

Je comprends ce que vous voulez dire , mais qu'est ce que je dois donner comme réponse final pour la continuité sur $\text{[math]}$ , que la série la somme de la série est continue sur $\text{[math]}$ ?

invite57a1e779 · 24/04/2010, 11h10

Réfléchir et comprendre ma première réponse :

Envoyé par God's Breath

la fonction $\text{[math]}$ est continue en tout point $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ parce qu'elle est continue sur $\text{[math]}$ .

invitec317278e · 24/04/2010, 11h12

Edit : Bon, j'efface pour ne pas gâcher le dernier message de god's breath

invite341bf20d · 24/04/2010, 11h26

f est continue sur tout point $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ donc la série qui est constitué de la somme de fonctions continues sur $\text{[math]}$
est continue sur $\text{[math]}$ ?

invitec317278e · 24/04/2010, 11h27

ça dépend, c'est quoi, f, pour toi ?

invite341bf20d · 24/04/2010, 11h35

je veux dire que $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ et comme les $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ sont continue alors la série est continue.

invite341bf20d · 24/04/2010, 11h49

Excusez moi je raconte n'importe quoi , il n'y a pas de série continues. Ce que je ne comprends pas c'est que d'après mon cours pour vérifier la continuité de la somme d'une série il faut vérifier la convergence uniforme et la continuité des f_n(x) en tout point de l'ensemble d'étude. Alors qu'ici vous me dites qu'on pas la convergence uniforme mais qu'on peut étudier la continuité . Et maintenant c'est le brouillard totale !!!!

invite57a1e779 · 24/04/2010, 11h56

Envoyé par Sam*

donc la fonction $\text{[math]}$ est continue sur $\text{[math]}$ .

Il suffit d'utiliser ce résultat correctement.

invite341bf20d · 24/04/2010, 14h10

Envoyé par God's Breath

Il suffit d'utiliser ce résultat correctement.

Je ne vois pas comment utiliser ce résultat, à moins d'agrandir de plus en plus l'intervalle $\text{[math]}$ jusqu'à le rendre = $\text{[math]}$ , à part ça je ne sais pas comment obtenir un résultat sur la continuité de $\text{[math]}$ .

invite57a1e779 · 24/04/2010, 14h17

Je considère le réel 2 : f est continue sur [0;3], donc f est continue au point 2.
Je considère le réel 37 : f est continue sur [0;38], donc f est continue au point 37.
Je considère le réel 5,789 : f est continue sur [0;6,789], donc f est continue au point 6,789.
Je considère le réel...

Donc f est continue sur R⁺.

invite341bf20d · 24/04/2010, 14h31

Envoyé par God's Breath

Je considère le réel 2 : f est continue sur [0;3], donc f est continue au point 2.
Je considère le réel 37 : f est continue sur [0;38], donc f est continue au point 37.
Je considère le réel 5,789 : f est continue sur [0;6,789], donc f est continue au point 6,789.
Je considère le réel...

Donc f est continue sur R⁺.

Ah

!!!!! quand je parlais d'agrandir l'intervalle $\text{[math]}$ et de le rendre = $\text{[math]}$ , je pensais à cette façon.
Mais je ne savais pas comment le formuler , j'ai une autre question, comment est ce que vous avez su que la série ne convergeait pas uniformément sur l'ensemble $\text{[math]}$ ??

invite57a1e779 · 24/04/2010, 14h35

Envoyé par Sam*

comment est ce que vous avez su que la série ne convergeait pas uniformément sur l'ensemble $\text{[math]}$ ??

Cette série n'a pas une tête à converger uniformément sur les intervalles non bornés, question d'habitude...
Voir le très bon argument de Thorin pour le prouver.

invite341bf20d · 24/04/2010, 15h11

Oui c'est vrai on n' obtient pas le meme résultat après inteversion des limites. Merci beaucoup votre aide !!!!!!!!

invite0f6f1e2d · 25/04/2010, 14h11

Envoyé par Thorin

Salut,

En fait, s'il y avait convergence uniforme sur $\text{[math]}$ , on pourrait intervertir les limites, et donc, d'un côté, la "fonction somme" tendrait vers 0 en plus l'infini (quand x tend vers l'infini, hein), et d'un autre (calcul un peu moins simple), vers $\text{[math]}$ .
Il n'y a donc pas convergence uniforme sur un tel intervalle.

un peu d'explication s'il vous pait et surtout pour ce $\text{[math]}$
je ne comprends pas l'action de l'intervertion pour le calcul de la limite sans déterminer la somme de la série.
merci

invite57a1e779 · 25/04/2010, 14h26

Soit $\text{[math]}$ ; je définis $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans lui-même par $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ .

La fonction $\text{[math]}$ est décroissante donc, pour tout entier $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

Comme $\text{[math]}$ est intégrable sur $\text{[math]}$ , on obtient : $\text{[math]}$ .

On remarque que $\text{[math]}$ , et on a l'encadrement : $\text{[math]}$ .

On calcule : $\text{[math]}$ , et on en déduit : $\text{[math]}$ , d'où : $\text{[math]}$ .

invite341bf20d · 25/04/2010, 21h48

Je n'ai pas fait tous ça

pour obtenir que la limite est égale à $\text{[math]}$ , je crois que j'ai commis une grossière erreur quelques part.

invitec317278e · 26/04/2010, 18h04

Si tu as quelque chose de plus simple, j'aimerais bien voir

Convergence normale , uniforme , continuité

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