Problème polynômes

[invite8bda8055]

je sais pas si vous arrivez à ouvrir le dossier mais voila j'y arrive pas du tout même à la première question est'ce que vous pourriez m'aider svp?
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[inviteaf1870ed]

Tu prends un polynome P(X)=cX+d, et tu calcules phi(P), tu dois trouver un polynome du premier degré, voili voilà pour la question 1

[invite8bda8055]

Je suis dsl mais je ne comprend pas la démarche.

[invite8bda8055]

Ah je crois que j'ai compris en fait je remplace X dans l'équation pas cx+d c'est bien ça?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Ah je crois que j'ai compris en fait je remplace X dans l'équation pas cx+d c'est bien ça?

Désolé, mais non, est une fonction de P, c'est donc P (et non X) qu'il faut remplacer par son expression : cX + d, par exemple pour les polynomes du premier degré.

[invite8bda8055]

Ok et pour démontrer que phi est un endomorphisme faut monter que phi (P) est une application linéaire c'est bien ça ?

[invite6f25a1fe]

Oui, un endomorphisme est une application linéaire de E dans lui même.
Comme tu viens de monter que l'espace d'arrivée était bien le même que celui de départ, il ne te reste qu'à montrer la linéarité.

[invite8bda8055]

Ok merci pour la 2), mais après comment je dois faire pour la 3)?

[invite6f25a1fe]

Il faut que tu détermines la matrice dans la base (1, X) de ton application phi. Il faut savoir que la matrice d'une application linéaire n'est rien de plus que "la mise les uns à coté des autres" des vecteurs image de ta base par l'application linéaire.

Pour être plus clair : tu as un espace de E de départ, et f une application de E vers un ensemble F. Soit B=(u, v) une base de E.
Alors la matrice de f() dans E est tout simplement [f(u), f(v)]
avec f(u) et f(v) exprimés dans la base de F (dans ton cas c'est plus facile, car E=F)

[invite8bda8055]

Mais donc je dois faire quoi c'est quoi le calcul?

[invite6f25a1fe]

Dans ton cas, u=1 et v=X et ton application est l'application phi()

Pour déterminer la matrice de phi, il faut donc que tu calcules phi(1) et phi(X), vecteurs que tu exprimeras dans la base (1, X).

La matrice de phi sera alors la matrice [phi(1) phi(X)]

[invite8bda8055]

Dans ton cas, u=1 et v=X et ton application est l'application phi()

Pour déterminer la matrice de phi, il faut donc que tu calcules phi(1) et phi(X), vecteurs que tu exprimeras dans la base (1, X).

La matrice de phi sera alors la matrice [phi(1) phi(X)]

pi() 'ai trouvé -X+[(a+b)/2]
et pour phi(X) j'ai trouvé -aX-bX+ab je ne me suis pas trompé? Et donc M1=[-X+(a+b)/2;-aX-bX+ab] c'st ça?

[invite6f25a1fe]

Non, car il faut que tu exprimes ces vecteurs images dans la base (1, X). cette base n'a pas à figurer dans la matrice.

ici , ta base est (u, v)=(1, X)

Tu as donc phi(1)=-X+(a+b/2)=-v+(a+b)/2.u
et phi(X)=-X.(a+b)/2+ab=-v.(a+b)/2+ab.u (sauf erreur de calcul de ma part)

Dans la matrice, tu auras donc en colonne 1 le vecteur phi(1) et en colonne 2 phi(X).

Mphi=
(a+b)/2 ab
-1 -(a+b)/2

On ne met pas de u ou de v dans la matrice. Pour récupérer l'expression de phi(Y) on utilise la relation matricielle phi(Y)=Mphi.Y où Y sera un vecteur décomposé dans la base (u, v). Par exemple Y=2-x=2.u-1.v

As-tu vu en cours les matrices, les endomorphismes, les bases etc... Car tout ceci sont des notions de base à connaitre avant de faire cet exercice.

[invite8bda8055]

Oui je l'a

[invite8bda8055]

oui je l'ai vu mais j'ai vraiment bêaucoup de mal avec ces notions cette année c'est un peu dur

[invite6f25a1fe]

Alors essayes de vraiment comprendre ces notions, de bases, de matrices, d'applications etc. sinon tu auras du mal à aller plus loin (car tout part de là)

N'hésites pas à re-poser des questions si besoin.

[invite8bda8055]

Oui merci beaucoup.