Etude d'une suite récurrente simple

**Shadowlugia** · 21/04/2010, 13h46

Bonjour tout le monde ! Voilà j'ai un exercice sur les suites, et les vacances ayant eu raison de moi, j'ai un peu perdu la main en ce qui concerne les maths, alors je me tourne vers vous.

Je vous donne les données et là où je bloque :
- a et b sont deux réels strictement positifs
- la suite un est définie par $\text{[math]}$

- on pose f définie par $\text{[math]}$ , qui va de IR* dans IR

on a commencé par étudier f : pas de difficultés, définie et dérivable sur IR*, de dérivée $\text{[math]}$
elle est décroissante, tend vers a en $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et admet une asymptote verticale x = 0
l'équation f(x) = x donne deux racines notées $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ < $\text{[math]}$
on vérifie également que $\text{[math]}$ < 0 < - $\text{[math]}$ < $\text{[math]}$

on étudie ensuite le signe de g(x) = f o f (x) - x.
g(x) > 0 pour $\text{[math]}$
g(x) < 0 pour $\text{[math]}$
g(x) > 0 pour $\text{[math]}$
g(x) < 0 pour $\text{[math]}$

ensuite, c'est là que je bloque. on suppose u₀ choisi de manière à ce que la suite (u_n) soit infinie
j'ai réussi à montrer que si un converge vers l non nul, alors f(l) = l
cependant ensuite on demande de montrer que (u_n) ne peut avoir pour limite 0, $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ et là je n'y arrive pas...

ensuite on nous dit que u₀ est compris entre 0 et $\text{[math]}$
--> montrer que (u_n) est infinie : ça c'est simple, on montre par récurrence que u_n existe pour tout n

--> déterminer le sens de variation de (u_2n) et (u_2n+1) : je bloque à ce niveau, en effet, en posant (v_n)=(u_2n) et (w_n)=(u_2n+1), j'obtiens que

v_n+1 - v_n = g(u_2n) et w_n+1-w_n=g(u_2n+1), mais je n'arrive pas à l'exploiter. pouvez-vous m'aider ? je pense qu'il y en a une qui croît et l'autre qui décroît, puisque ensuite on nous demande la limite de (u_n) donc je pense qu'il faut montrer que (u_2n) et (u_2n+1) sont adjacentes...

j'attends vos réponses.

**ericcc** · 21/04/2010, 15h39

Comme Un+1=a+b/Un, est il possible que Un tende vers 0 ou vers +/- infini ?

POur les suites adjacentes utilise g(x)

Je suppose que tu connais ton cours sur les suites récurrentes définies par une fonction.
Ici si tu veux creuser :http://math.unice.fr/~nbasbois/Ensei...ass/mass_2.pdf
et encore plus fouillé
http://www.math.ens.fr/culturemath/m...mographies.pdf

**Shadowlugia** · 21/04/2010, 19h45

justement je ne vois pas comment utiliser g(x) pour les suites extraites...
et pour ce qiui est des limites, tout ce que j'ai à dire c'est que d'après l'étude de la fonction f (tend vers a, qui est non nul en l'infini) alors 0 et les infinis ne sont pas recevables ?

en tout cas merci pour les deux liens, ça m'a l'air intéressant, je tâcherai de lire ça avec intérêt

**Shadowlugia** · 23/04/2010, 12h15

quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plaît, j'ai toujours beaucoup de mal...j'ai essayé par récurrence mais là aussi je suis bloqué...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Shadowlugia** · 25/04/2010, 14h56

Rebonjour !

J'ai finalement réussi à me dépatouiller de tout ces questions, mais je galère de nouveau, alors si je pouvais encore une fois compter un peu sur vous !

on a maintenant les résultats suivants, pour U₀ strictement compris entre 0 et $\text{[math]}$ :
- (U_2n) est croissante et (U_2n+1) est décroissante
- (U_n) tend vers $\text{[math]}$

on suppose maintenant U₀choisi de manière à ce que (U_n) soit infinie
on pose ensuite V_n= U₁.U₂...U_n

montrer que V_n+2=aV_n+1 + bV_n
ça j'ai réussi à le faire par récurrence

ensuite on demande :
montrer alors que V_n = (( $\text{[math]}$ U₀ + b) $\text{[math]}$ ⁿ - ( $\text{[math]}$ U₀ + b) $\text{[math]}$ ⁿ) . $\text{[math]}$ .

(tout le bazar avant la fraction n'est pas au dénominateur mais au numérateur)

en déduire le calcul de U_n pour tout naturel n et en déduire que (U_n) est convergente et calculer sa limite

c'est là que je bloque...la suite m'a l'air aussi compliquée, mais pour l'instant c'est cette partie qui est la plus problématique, pouvez-vous m'aider ?

**Thorin** · 25/04/2010, 15h56

Salut,
pour trouver l'expression de V_n, il s'agit d'une récurrence;
pour celle de U_n : Que vaut $\text{[math]}$ ?

**Shadowlugia** · 25/04/2010, 16h40

en fait j'avais pensé à une récurrence : pour ce qui est de l'initialisation, pas de souci, pour n=0 on vérifie facilement que la propriété est vraie

c'est pour l'hérédité que j'ai un peu plus de mal :
on suppose que la relation est vérifiée pour n, montrons qu'elle est aussi vérifiée pour l'entier suivant n+1.

j'ai dit que V_n+1=U_n+1.V_n et j'ai pensé à remplacer Vn par l'expression (hypothèse de récurrence), mais ensuite je bloque, parce que même si on remplace U_n+1 par $\text{[math]}$ , je n'arrive pas à avancer après, je coince...

sinon pour le calcul de $\text{[math]}$ je n'arrive à rien de concluant...tu pourrais me dire la voie à prendre sans forcément me dire la réponse ?

**ericcc** · 26/04/2010, 09h20

Pour l'expression de Vn, il s'agit d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2, les solutions générales sont combinaisons linéaires des solutions simples données par l'équation caractéristique r²-ar-b=0, qui sont alpha et beta.
Il n'y a qu'à dérouler.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_r...2.80.99ordre_2

**Shadowlugia** · 26/04/2010, 19h13

j'ai enfin réussi
merci à tous pour votre aide !

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