Etude suite récurrente avec Arctan(x)

[invite5898d809]

Bonjour,

je suis en classe prépa et je dois faire cet exercice, mais je suis bloquée dès la première question, et j'ai aussi du mal à résoudre les suivantes.
Pourriez-vous me donner un petit coup de main s'il vous plait?
je vous remercie !!

Soit f : R-->R la fonction définie pour tout x appartenant à R par f(x)=1/2Arctan(x), et u(n) la suite définie par récurrence suivante :
u(0)=1 et
pour tout n entier naturel, u(n+1)=f(u(n)).
Je noterai abs la valeur absolue.

1. Montrer que : abs(u(n+1)-u(n)) <ou = à 1/2 abs(u(n)-u(n-1)).

2. En déduire que la suite u(n) converge (en se ramenant à la convergence d'une certaine série). Déterminer cette limite.

3. Montrer que pour tout n entier naturel, 0<u(n)<(1-pi/4)/(2^(n-1)) [pour un problème de notation sur le clavier, les signes inférieurs sont en fait des inférieurs ou egal).

4. En déduire que sigma u(n) converge, et donner un majorant de sa somme.

Je vous remercie encore pour votre aide.
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[invitec314d025]

Les accroissements finis peuvent t'aider pour la 1ère.

[invite6b1e2c2e]

Salut !

Quelques pistes : Fait un dessin de la fonction arctan. Essaye de représenter ta suite, et déduis en la limite.
Pour prouver ce que tu vois : Regarde le module de continuité de Arctan. Pour cela, tu peux peut-être chercher dans ton cours une formule reliant arctan(x), arctan(y) et ... je te laisse chercher. Sinon, n'oublie pas aussi l'inégalité des accroissements finis.
Enfin, la dernière question est triviale.

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rvz

[invite5898d809]

je te remercie de ton indice... cependant, lorsque tu appliques l'inegalite des accroissements finis, on considère un majorant de abs(f') sur un intervalle ouvert.est-ce bien u(n-1);u(n)? or, je remarque que f tend vers pi/4 en +infini, alors qu'en fait je devrais trouver un majorant plus petit que 1/2!
pourrais-tu m'aider s'il te plait? merci beaucoup!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Bien sûr ! Quel est le majorant de f' pour toi ? Tu as trouvé quoi ?

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rvz

[invite5898d809]

c bon, la première question j'ai trouvé, mais la 2ème, je sais q la nature de la suite u(n) est la meme que celle de la serie sigma u(n+1) -u(n) (cf cours). mais ensuite je n'avance pas vrmt...

[invite6b1e2c2e]

Normalement, dans ton cours, il y a un critère pour trouver toutes les limites possibles d'une suite du type f(u_n) = u_{n+1}, et ce critère est très visuel si tu as fait un dessin, comme je te l'ai déjà suggéré.

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rvz

[invite71b1f7de]

Bonjour

Une piste pour la 2) :

Posons v_n=u_n+1 - u_n

Observe que abs(v_n) inf ou egal a 1/2*abs(v_n-1) , puis inf ou egal a 1/2 * 1/2 *abs(v_n-2) .......

Tu obtient un truc du genre
abs(v_n) inf ou egal a (1/2)ⁿ*v₀

Prend ensuite la somme partielle de v_n allant de 0 a N .

En l'ecrivant avec les u_n tu observe une simplification en cascade

Tu a donc comme somme partielle des v_n :

u_N+1-u₀

Or tu a majoré tes v_n par le terme d'une serie geometrique , tu en deduis la convergence de la serie , d'ou la limite quand N->infini de
u_N+1-u₀

Donc ta suite converge !!

Pour la limite ,je te laisse voir ....

Bon courage

[invite6b1e2c2e]

Effectivement ! Je n'avais pas compris que c'était ça qui posait problème. Mais la convergence est aussi assuré par des critères de type Cauchy... Ce qui est tout à fait équivalent, on est bien d'accord !

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rvz

[invite71b1f7de]

Mais la convergence est aussi assuré par des critères de type Cauchy...

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rvz

Qu'entends-tu par "critere de Cauchy" ?

[invite6b1e2c2e]

Une suite u_n est une suite de Cauchy ssi pour tout e >0, il existe N tel que pour tout p,q >N, |u_p-u_q| <e
C'est équivalent à la convergence de la suite dans tout espace métrique complet compact ou tel que les fermés bornés sont compacts...
En effet, si une suite est convergente vers a, alors, on peut trouver n tel que |u_p - a| <e/2
Une inégalité triangulaire implique que c'est bien une suite de Cauchy.
Réciproquement.
Lemme 1 : Toute suite de Cauchy est bornée. (Vraiment facile)
On en déduit qu'une suite de Cauchy admet forcément une valeur d'adhérence par hypothèse (Weierstrass et ses suites extraites si on travaille sur R^N, hypothèse de compacité sinon (auquel cas on n'a pas besoin du lemme 1 d'ailleurs)).
Lemme 2: Une suite de Cauchy n'a qu'une seule valeur d'adhérence.
Cf preuve de l'unicité de la limite en rajoutant une inégalité triangulaire.

PS : J'ai esquissé la preuve pour un ev normé. Métrique, c'est plus chiant, mais c'est pareil.

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rvz

[invite71b1f7de]

OK d'accord
Il faut dire que j'ai assez de difficultés a raisonner par ce genre de considerations , et puis de toute maniere j'ai jammais vraiment été tres fort en topo

Bonne nuit a tous