Terme d'une suite récurrente

[invite7ffabf31]

Bonsoir !

Voilà tout ... j'ai un exercice qui me dit la chose suivante :
Soit la suite de polynômes définie par et . Calculer le coefficient de dans .

Le problème est que j'ai essayé pas mal de choses, et que je n'ai toujours pas la moindre idée de par où commencer ...
J'ai calculé les polynômes de la suite jusqu'à environ, et grâce à ça, j'ai pu me rendre compte que le coefficient du terme en X vaut , que le coefficient dominant vaut toujours 1 et que le degré du polynôme vaut ... ensuite j'ai écrit :


Déjà, est-ce correct ?
Et ensuite, quelqu'un aurait-il une idée de comment trouver en fonction de à partir de la relation que l'on a trouvé ??!!

Merci d'avance !

Kebur
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[inviteaf1870ed]

Je n'ai pas vérifié ta relation sur les bn, mais si elle est juste, il te suffit d'écrire

b_n+1=4^n-2+4b_n
b_n=4^n-3+4b_n-1
.......
b₂=4⁰+4b₁

Tu multiplies la deuxième équation par 4
la suivante par 4²
....
la dernière par 4^n-1
et tu sommes en colonne

[invite7ffabf31]

Je ne pense pas que la sommation en colonne soit propice ici puisque si d'un côté on a , on aura de l'autre côté donc la simplification sera impossible ...

Par contre, j'ai trouvé la solution entre temps ...
Il suffit en fait de poser ceci :

et de résoudre en qui se présente sous la forme d'une suite arithmético-géométrique que l'on sait résoudre facilement. De là on retrouve ...
Voilà

Merci ericcc d'avoir répondu

[inviteaf1870ed]

Tu n'as pas bien lu mon post...ma méthode est équivalente à la tienne

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ffabf31]

Oh ! en effet .... je suis confus ! Je n'avais pas fait attention aux multiplications par des multiples de 4 de chaque ligne ... Désolé !