Terme général d'une suite...

[MS.11]

Bonjour,

Je révise un contrôle pour demain et je vois pas comment trouver le terme général de la suite définie par récurrence par et.

En calculant la différence de deux termes consécutifs, j'ai montré qu'elle était croissante.

Par récurrence, j'ai montré que .

Et là, je dois conjecturer son terme général et le démontrer.

En calculant les premiers termes :



j'ai pu remarquer que :

...

Mais je trouve toujours pas le terme général...

Un coup de pouce serait donc le bienvenu !

Merci par avance.

MS
-----

[invite1237a629]

Plop,

Ce que tu veux trouver, c'est U_n.

Donc écris U_n en fonction de U_n-1.

Puis remplaces-y U_n-1 en fonction de U_n-2.

Puis U_n-2 en fonction de U_n-3, etc...

Et là, tu conjectures, c'est-à-dire que tu devines la suite grâce aux premiers calculs. À chaque fois, tu ajoutes 3 (ne pas se tromper dans le comptage...n ou n-1 termes ?), tu ajoutes aussi 2 fois n-1, puis 2 fois n-2 etc... jusqu'à tomber sur U₀. Que peux-tu en tirer ?

[MS.11]

Pour l'instant j'en tire pas grand chose...

Je m'arrête à quel rang ? Parce que je trouve que c'est source d'erreur et j'y arrive pas vraiment...

Conjecturer, ca veut pas dire sans calculs ? parce que là ca me saute pas aux yeux...

Est ce que tu peux me dire si je suis censé voir du 2^n ? ou autre chose ?

merci

[Al-Kashi]

Salut,

Déjà tu te trompes dans le calcul des termes. En effet:



Donc

[A voir en vidéo sur Futura]

[MS.11]

Je me sens tout ridicule... j'ai remplacé le 2n par 2(n+1).

C'est tout de suite plus simple....



Béni sois-tu Al-Kashi ! Parce que j'aurais pu chercher longtemps.

[MS.11]

Et pour le démontrer y a rien de plus simple qu'une récurrence ? ou de moins long en fait ?

Si quelqu'un voit ......

[invite1237a629]

Ah oé ma méthode est un poil plus compliquée (mais aboutissement identique ^^)

Ben c'est tout con vi : récurrence...
Base : U₁ = (1+1)^2

Induction : on suppose que U_n = (n+1)²

Et tu dois donc montrer que U_n+1 = (n+1+1)² en supposant l'égalité précédente vraie.

[MS.11]

C'était beaucoup plus simple que prévu... J'ai dérangé tout le monde pour rien lol !

En tout cas merci.

[Al-Kashi]

Salut,

Tu peux procéder par un raisonnement par recurrence ou par itération.