Intégrales curvilignes / simples

[inviteb4d8c3b4]

Bonjour,

je comprends pas bien la différence entre l'intégrale simple et curviligne, mais je parle de leur constitution. En effet, une intégrale simple, on intègre une fonction entre deux bornes "a" et "b". Le résultat est une aire.

L'intégrale curviligne, c'est pareil pourtant, on intègre entre deux bornes "a" et "b". Et pourtant, on obtient une distance, la distance du chemin (a-b).

Je comprends donc pas ce qui les différencie dans leur constitution, pourquoi quand on fait une intégrale curviligne, on obtient pas aussi une aire ?

Ou alors, c'est que je comprends mal la constitution d'une curviligne, peutêtre alors qu'une curviligne est obligatoirement dans et donc on intègrerait et pas seulement ?

Merci de m'éclairer ?
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[invitedfc9e014]

tu intègres entre a et b, mais tu n'intègres pas la même chose non?

[inviteb4d8c3b4]

tu intègres entre a et b, mais tu n'intègres pas la même chose non?

C'est bien là ma question ! Quelqu'un pourrait-il m'expliquer svp ?

Merci

[invite40f82214]

je crois que l'integrale curviligne represente la somme de tout tes element de longeur qui corresponde a la longueur que tu veut integrer

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Bonjour,

je comprends pas bien la différence entre l'intégrale simple et curviligne, mais je parle de leur constitution. En effet, une intégrale simple, on intègre une fonction entre deux bornes "a" et "b". Le résultat est une aire.

L'intégrale curviligne, c'est pareil pourtant, on intègre entre deux bornes "a" et "b". Et pourtant, on obtient une distance, la distance du chemin (a-b).

Je comprends donc pas ce qui les différencie dans leur constitution, pourquoi quand on fait une intégrale curviligne, on obtient pas aussi une aire ?

Ou alors, c'est que je comprends mal la constitution d'une curviligne, peutêtre alors qu'une curviligne est obligatoirement dans et donc on intègrerait et pas seulement ?

Merci de m'éclairer ?

D'abord corrigeons deux erreurs dues à la présentation (qui a ses avantages aussi) de l'intégrale simple et de l'intégrale curviligne.
Une intégrale simple n'est une aire que dans une représentation donnée mais n'est pas intrinsèquement une aire. Exemple : tu veux calculer le volume d'une sphère pleine tu calcules :

Tu intègres le long d'une quantité (le rayon des diverses sphères creuses de même centre inclues dans la sphère pleine) qui est une longueur une quantité (la surface de ces sphères creuses) qui est une surface, d'où équation aux dimensions [L][L²]=[L³], tu obtiens bien un volume.
Si tu es avec des grandeurs qui ont des dimensions, la dimension de l'intégrale est égale à dimension de l'intervalle (qui peut être autre chose qu'une longueur) x dimension de la quantité que tu intègres.
C'est une aire si les deux sont des longueurs.
Maintenant, l'intégrale simple n'est pas plus une longueur qu'autre hose intrinsèquement, la même équation aux dimensions est valide. Tu intègres le long d'un chemin (qui a une dimension, souvent une longueur) une quantité f(x,y...) la dimension est égale à [chemin][f].
Mais si on l'écrit comme une intégrale simple on a autre chose.
Dans cette intégrale, on a un intervalle qui a une dimension (celle du paramétrage, disons en t pour rester classique, souvent le temps mais ce n'est pas une nécessité), on intègre f(x(t),y(t))llc'(t)ll, or llc'(t)ll est une limite de llDc(t)/Dtll qui a même dimension que Dc(t)/Dt, D signifiant une différence, donc a une dimension quotient [c]/[t]. donc équation au dimension [t][f]([c]/[t])=[c][f] c'est bien la même dimension .
Maintenant, l'intégrale simple est une intégrale curviligne particulière :
Si tu intègres le long du chemin G : t variant entre a et b (x(t),y(t))=(t,0) la fonction f*(x,y)=f(x) tu obtiens : x'(t)=1 y'(t)=0 tu exprimes l'intégrale curviligne tu obtiens .

L'intégrale curviligne ne se différencie pas fondamentalement de l'intégrale simple elle est simplement plus générale.
Tu peux la voir ainsi pour une intégrale le long d'un chemin dans R² d'une quantité f(x,y) :
tu traces le chemin dans (Oxy) puis tu élèves le "mur" de hauteur variable égale à f(x,y) au point de coordonnées (x,y). L'intégrale curviligne est la surface du mur ainsi élevèe (si on décide de donner des dimensions dimension de l'intégrale=dimension de la basexdimension de la hauteur). Ce que l'on additionne c'est des f(x,y)x(llc'(t)lldt) les llc'(t)dtll sont des tronçons infinitésiamux de la base qui ont même dimension que celle-ci (la dimension de l'intervalle sur lequel on intègre est intégré dans ce point de vue dans le "dt").