utilité des intégrales curvilignes

[invitee75a2d43]

Bonjour,

J´ai une question d´ordre pratique:

On sait calculer des surfaces compliquées avec les intégrales simples, des volumes ou des moments d´inerties avec les intégrales doubles, mais qu´en est-il des intégrales curvilignes? Le mec (ou la nana?) qui a inventé ça n´a pas fait ça comme ça, il avait bien un idée derriere la tête non? Moi je vois pas.

Je sais, c´est une question très peu mathématicienne....

Merci
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[inviteaf1870ed]

Ben la longueur de la courbe, pardi !

[invitee75a2d43]

ah... euh...

Mais la longueur de la courbe est donnée simplement par
int(x´² + y´²)^1/2

ya pas à chercher plus loin. Pourquoi alors les intégrales curvilignes?

[invite57e5945e]

Ne serait-ce que pour l'honneur de l'esprit humain dirait Jean Dieudonné...

et puis pour les physiciens qui en font une grande consomation

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

et puis pour les physiciens qui en font une grande consomation

Ah? ça se mange?

[invite3e5ede0a]

En analyse complexe également, et pour la physique, c'est utile en mécanique classique ou quantique.

[invitec053041c]

Euh il y a une distinction (dans mon cours en tout cas!) entre calcul de longueur de courbe et intégrale curviligne.
L'intégrale curviligne permet par exemple de déterminer un travail d'une force sur une trajectoire si j'ai bien compris.

[invite1d97d2eb]

le travail se calcul grace a la longueur de la courbe:
Dans ton cour tu doit avoir du style INT(f(x)dl) le dl exprime la courbe grace a l'integrale.

Je sais pas si je suis clair mais si tu as des questions n'esite pas j'essairais d'expliquer plus clairement (en revoyant mon cour par exemple)

[invitec053041c]

Bonjour, justement, mon cours ne fait pas apparaître les mêmes formes, je veux dire que je n'ai pas l'impression d'utiliser une méthode similaire pour rectifier une courbe et calculer un travail (même si ça me paraîtrait logique...).

Longueur de courbe, j'ai forcément:


Alors que le travail, fait intervenir un simple produit scalaire, mais je n'y vois pas de norme spécifiquement, comme dans l'intégrale précédente:
Pour un champ vectoriel de la forme

on a pour l'intégrale curviligne :


Qui ne fait pas intervenir de carré ni de racines...

[Bleyblue]

Salut,

A ce qui a déja été dit je rajouterai simplement qu'en physique, ça sert énormément (que ce soit en élec. en méca ou nimporte quelle partie, les physiciens ils ont ça dans le sang, peuvent pas s'empêcher d'utiliser des curvilignes, c'est plus fort qu'eux )

Sinon pour ce qui est de l'intégrale le long d'une courbe C apparatenant au domaine d'une fonction de F de R² tu peux interpreter cela en terme d'aire.

Ta courbe f fait partie du domaine de F. Considère la fonction F restreinte à ta courbe, tu obtiens une sorte de surface (située entre la fonction et la courbe) en 3D. Ton intégrale curviligne te fournit cette aire (c'est vraiment très joli comme concept je trouve )

Et plus généralement on peut définir l'intégrale d'une fonction sur une variété (une variété étant une surface de dimension n) et il y a moyen de généraliser plus encore parait-il ...

EDIT :
Précision supplémentaire, d'après ce que je viens de dire :

Ta courbe f fait partie du domaine de F. Considère la fonction F restreinte à ta courbe, tu obtiens une sorte de surface (située entre la fonction et la courbe) en 3D. Ton intégrale curviligne te fournit cette aire (c'est vraiment très joli comme concept je trouve )

Il te suffit d'intégrer la fonction constante 1 sur ta courbe pour trouver la longueur de celle ci

[Bleyblue]

Sinon il faut prendre garde à faire la distinction entre

1) L'intégrale d'une fonction F le long d'une courbe C :

une chemin différentiable et
une fonction alors :

(la norme de C intervient)

2) L'intégrale d'un champ de vecteur le long d'une courbe
(définit par Ledescat)