Intégrales curvilignes/elliptiques et longeurs d'arcs de courbes

[Bleyblue]

Bonjour,

Je sais que si j'ai un arc de courbe C dans je peux calculer la longeur de cette courbe en calculant (si possible) :



c'est à dire qu'on intègre la fonction f(x1,x2, ..., xn) = 1 sur l'arc de courbe en question.

Mais je ne comprend pas, pourquoi la fonction f(x1,x2, ..., xn) = 1 et pas autre chose ?
Si j'intègre une autre fonction à la place j'aurai une autre valeur numérique (et je ne comprend pas bien à quoi ça correspond d'ailleurs) :


Si j'essaie avec l'ellipse centrée en (0,0) dans :



J'ai :



et donc j'ai :



Et ça c'est une intégrale elliptique non ?

Et si maintenant j'essaie avec l'arc de courbe y = x sur [0,1] j'obtiendrais de nouveau une primitive impossible à calculer.

Est-ce que ça rentre aussi dans la catégorie des intégrales elliptiques ? où pas ? Et comment fait-on pour se débrouiller dans des cas pareils ?
Par intégration numérique peut-être mais il n'existe pas d'autre moyen ?

merci
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[Bleyblue]

Je vois que mes intégrales n'intéressent personne ... c'est dommage pourtant

[invitedef78796]

Salut à toi,

Et ça c'est une intégrale elliptique non ?

Si tu supposes b<a ce qui est sensé être le cas pour une ellipse, je me demande (arrête moi si je me trompes) si tu ne peux pas t'en sortir avec le changement de variable cos u = alpha * cos thêta avec alpha² = a^2-b^2 ?

[Bleyblue]

Eh bien je ne pense pas (peut-&#234;tre que je me trompe ...) :

cos u =


ensuite il faut exprimer en fonction de u la dedans ce qui risque de ne pas &#234;tre joli joli ...

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedef78796]

Et bien désolé, j'ai effectivement dit n'importe quoi .

D'ailleurs, le nom intégrale elliptique vient bien de quelque part (j'aurais dû m'en douter ). On ne peut pas calculer explicitement le perimètre d'une ellipse mais cela ne serait pas la première fois que l'on ne saurait pas calculer explicitement une intégrale...

En revanche j'ai trouvé un petit lien très synthétique sur le problème des intégrales elliptiques :

http://folium.eu.org/analyse/integr/.../intellip.html

Voilà,

[Bleyblue]

ok merci

Sinon il y a toujours ceci que je ne comprend pas :

c'est à dire qu'on intègre la fonction f(x1,x2, ..., xn) = 1 sur l'arc de courbe en question.

Mais je ne comprend pas, pourquoi la fonction f(x1,x2, ..., xn) = 1 et pas autre chose ?
Si j'intègre une autre fonction à la place j'aurai une autre valeur numérique (et je ne comprend pas bien à quoi ça correspond d'ailleurs) :

Donc si quelqu'un a une idée ...

merci