Espace vectoriel

invite769a1844 · 02/01/2008, 22h33

Bonsoir, je bloque sur cet exo:

$\text{[math]}$ désigne un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ .

On considère pour $\text{[math]}$ les sous-espaces vectoriels $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

a) Montrer qu'il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ . Que peut-on en déduire pour les $\text{[math]}$ ?

b) Montrer que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des sous-espaces vectoriels de $\text{[math]}$ qui sont stables par $\text{[math]}$ .

c) Montrer que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est bijective et $\text{[math]}$ est nilpotente.

Je bloque à partir de la question c), je ne vois pas comment montrer que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont supplémentaires dans $\text{[math]}$ .

Merci pour votre aide.

**invite35452583** · 02/01/2008, 22h50

Puisqu'on est en dimension finie, on peut appliquer le théorème du rang. il suffit donc de montrer que F et G ont une intersection triviale, soit y dans l'intersection on a y=f^k(x) f^k(y)=0 et donc ...

invite769a1844 · 02/01/2008, 22h57

Envoyé par homotopie

Puisqu'on est en dimension finie, on peut appliquer le théorème du rang. il suffit donc de montrer que F et G ont une intersection triviale, soit y dans l'intersection on a y=f^k(x) f^k(y)=0 et donc ...

Bonsoir Homotopie, oui justement c'est l'intersection triviale que je ne vois pas vraiment. Si j'ai bien compris x dépend de k, et en considérant une suite $\text{[math]}$ ainsi définie, je ne vois pas comment aboutir.

**invite35452583** · 02/01/2008, 23h01

Envoyé par rhomuald

Bonsoir Homotopie, oui justement c'est l'intersection triviale que je ne vois pas vraiment. Si j'ai bien compris x dépend de k, et en considérant une suite $\text{[math]}$ ainsi définie, je ne vois pas comment aboutir.

Pardon je voulais prendre k₀ et non un k quelconque. x ne dépend donc pas de k₀ mais seulement de y. Ensuite, regarder dans quel sev est x puis utiliser a).

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invite769a1844 · 02/01/2008, 23h05

Envoyé par homotopie

Pardon je voulais prendre k₀ et non un k quelconque. x ne dépend donc pas de k₀ mais seulement de y. Ensuite, regarder dans quel sev est x puis utiliser a).

Bon, je ne vois pas vraiment pour l'instant mais je vais y réfléchir, je reposte si j'ai un blocage.

Merci homotopie.

inviteaeeb6d8b · 03/01/2008, 12h25

Re !

Suppose d'abord qu'un tel k n'existe pas, du fait de la dimension finie, tu vas aboutir à une contradiction.

Par définition de ce k, tous les noyaux itérés "avant lui" sont différents, reste à montrer que dès qu'il y a égalité une fois, il y a toujours égalité.
Tu as une inclusion qui est évidente, tu n'as plus qu'à montrer l'autre sens, tout bêtement : soit x dans Ker(f^k+h) montrons que x est dans Ker(f^k)

Romain

invite769a1844 · 03/01/2008, 12h32

Envoyé par Romain-des-Bois

Re !

Suppose d'abord qu'un tel k n'existe pas, du fait de la dimension finie, tu vas aboutir à une contradiction.

Par définition de ce k, tous les noyaux itérés "avant lui" sont différents, reste à montrer que dès qu'il y a égalité une fois, il y a toujours égalité.
Tu as une inclusion qui est évidente, tu n'as plus qu'à montrer l'autre sens, tout bêtement : soit x dans Ker(f^k+h) montrons que x est dans Ker(f^k)

Romain

c'est pas la question a) ça? Enfin bon je m'y remets après l'analyse. C'est le bad pour ces révisions. L'hindou n' a rien corrigé du semestre et l'algèbre c'est pas ma tasse de thé, j'ai aucun support, je sens que je vais poser pas mal de questions d'algèbre ces prochains temps. En tout cas merci

inviteaeeb6d8b · 03/01/2008, 12h49

Argh ! Excuse moi, j'ai lu en diagonale... tu bloques à la question c

invite769a1844 · 03/01/2008, 12h58

Envoyé par Romain-des-Bois

Argh ! Excuse moi, j'ai lu en diagonale... tu bloques à la question c

vi,

après pour reprendre les conseils donnés par homotopie, vu que ces suites sont stationnaires et que E est de dimension finie, il suffit de montrer que $\text{[math]}$ est réduit à $\text{[math]}$ .

Soit $\text{[math]}$ .
Il existe donc $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et de ça en utilisant a) et en voyant où est x, il faut en déduire que $\text{[math]}$ .

SI j'ai bien compris.

inviteaeeb6d8b · 03/01/2008, 13h34

Oui, avec le théorème du rang, tu as que la somme des deux espaces permet de reconstruire E. Il reste à montrer que leur intersection est {0}

Tu prends y dans l'intersection et tu montres que y = 0

Je te mets la preuve entre spoiler

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Romain

invite769a1844 · 03/01/2008, 13h43

Merci, je cherche ça tout à l'heure (et je vais essayer de ne pas ouvrir le spoiler trop vite

).

Au fait j'ai entendu dure qu'il y avait une erreur dans l'une des matrices qui sont dans les exos de la dernière feuille de td (l'un des deux extraits de partiels), je me disais que peut être tu savais où elle était et par quelles valeurs il faut remplacer?

inviteaeeb6d8b · 03/01/2008, 13h49

Oui

L'extrait du partiel de janvier est OK (et pas dur)
L'extrait du partiel de février n'est pas OK (et plus dur)

En fait, la matrice donnée permet de faire quand même l'exercice puisque le polynôme caractéristique est scindé (l'objectif étant de Jordaniser la matrice).

C'est juste que le polynôme minimal qu'il donne est faux !
Il dit : montrer que le poly min est (x-1)²(x-2) (il me semble) alors qu'en réalité, c'est x²(x-1)

Ensuite, tu remplaces les sous-espaces caractéristiques donnés dans l'énoncé par Ker(f²) et Ker(f-Id) et tout est bon

Romain

invite769a1844 · 03/01/2008, 14h02

Ok je retiens, merci

Mais c'est fou quand même, déjà qu'il fait plein de fautes dans les tds, et dans le cours, si en plus il en fait dans les partiels, ça va être la mission, surtout que des fois c'est pas des coquilles quoi.

inviteaeeb6d8b · 03/01/2008, 14h04

Je suis tout à fait d'accord avec toi

Remarque, j'ai pas trop remarqué d'erreurs dans son cours à part le coup du critère d'Eisenstein...

invite769a1844 · 03/01/2008, 14h12

j'en avais vu 2 autres:

dans son polycop, le premier exemple d'une application 2-linéaire (il me semble pas qu'elle le soit et si c'est une coquille je vois pas quelle application remplacer),

et une autre (mais là j'ai peut être mal copié aussi), pour la division euclidienne il dit à titre de remarque que ça marche aussi dans $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$ , je ne sais pas si c'est lui ou c'est moi après qui ait oublié "si $\text{[math]}$ "

inviteaeeb6d8b · 03/01/2008, 14h14

Ah oui... mais perso, j'essaie de ne pas trop me focaliser sur les cours des profs

Je me rappelle avoir ajouté dans mon cours le si an = +/- 1

invite769a1844 · 03/01/2008, 14h20

Envoyé par Romain-des-Bois

Ah oui... mais perso, j'essaie de ne pas trop me focaliser sur les cours des profs

c'est à dire? c'est quoi ta méthode?

invite769a1844 · 07/01/2008, 13h17

Bon je viens de trouver et c'est la même astuce que ce qui est dans ton spoiler.

je suis un peu à la bourre, non?

Espace vectoriel