transformée de laplace: projection sur une base de fonction

[invite9c7554e3]

Salut tous,

je suis plutot physicien (vous le ressentirez surement dans mon message) et j'ai toujours eu l'habitude de voir la transformée de Laplace comme un simple changement de variables:

=> on effectue l'operation : et ça nous permet par exemple de transformer des equadiff en polynomes avec la variable P

jusqu'à tous va bien mais j'aimerai comprendre un peu plus qu'es ce que c'est ce changement de variable

=> je ne suis pas matheux mais je trouve que ça ressemble à un produit scalaire entre une fonction f(t) et une fonction qui appartient à une base de fonction (base formée par des fonctions exp mais pourquoi ?)...

1°) pouvez vous me dire si c'est correct comme vision "avec les mains"
2°) pouvez vous me donner quelques compléments théoriques s'il vous plait ?

je vous remercie d'avance

A+
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[invite97a526b6]

Bonjour,
Je te livre quelques réflexions personnelles sur la TL. Elles permettront peut-être de t'éclairer sur la signification profonde de ce concept.

- Une fonction (réponse impulsive d'un système) convoluée avec une exponentielle (excitation d'entrée) est proportionnelle à cette exponentielle (le résultat de la convolution étant la fonction de sortie). C'est la linéarité.
Le coefficient de proportionnalité est la TL de la fonction (réponse impulsive du circuit).

- L'explication profonde est que l'exponentielle transforme la translation de la variable en une multiplication (isomorphisme du groupe additif dans le groupe multiplicatif).

- La convolution d'une fonction par une exponentielle donne une fonction proportionnelle à cette exponentielle.
f : V -> kV avec V vecteur propre et k valeur propre. Le vecteur V est une exponentielle et k est la TL pour la valeur p dans l'exposant, l'opérateur f étant la convolution par la transmittance du système.

- Si on se fixe le système à étudier, on se fixe la distribution T "transmittance du système".
Dans ce cas, l'opération convolution O_T de n'importe quelle excitation S par T donne une réponse R:
O_T: S -> R = S*T

- T définit un opérateur sur l'espaces des distributions (ou si tu veux des fonctions). Les exponentielles en sont les fonctions propres de cet opérateur et les TL (ou les TF) en sont les valeurs propres.

- Quand on obtient une TL, on obtient l'ensemble des coefficients (indexés par p) qui peuvent s'interpréter comme des sinusoïdes amorties de fréquence et d'amortissement donnés par le nombre complexe p
La TL est l'ensemble des coefficients du développement de la réponse sur une base de fonctions propres : les exponentielles amorties.

Voilà, brutes de mes réflexions sur ce sujet. En espérant t'avoir un peu éclairé...

[invite9c7554e3]

pas facile tout ceci

merci en tout cas pour ces explications ça m'aide (et ça me montre que je dois revoir 2-3 truc en math pour bien tout saisir)

A bientot et encore merci