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Curiosité : lien entre transformée de Laplace et la transformée en Z



  1. #1
    erff

    Curiosité : lien entre transformée de Laplace et la transformée en Z


    ------

    Bonjour,

    J'étudie le traitement du signal et j'ai donc à ma disposition des outils : la transformée de Laplace et la transformée en Z (analogue de Laplace, pour des signaux échantillonnés)

    - Dans les exercices, on a des systèmes physiques (donc modélisés par leur transfo de Laplace) attaqués par des signaux échantillonnés et on doit souvent calculer la TZ du système physique connaissant la transformée de Laplace.
    Hors la seule méthode dont je dispose est :
    - revenir par transformée de Laplace inverse à la réponse impulsionnelle (donc à un signal temporel continu)
    - échantillonner cette réponse impulsionnelle (en gros remplacer t par n*Te)
    - puis calculer la TZ de ce signal échantillonné

    Est-ce qu'il existerait un moyen plus rapide de passer directement de la TL à la TZ connaissant la période d'échantillonnage ?


    Merci

    -----

  2. #2
    chrisric

    Re : Curiosité : lien entre transformée de Laplace et la transformée en Z

    bonjour,
    on vous dira peut-être que z=exp(p*Te). En fait cette expression ne convient pas à toutes les situations. Il n'est pas évident de passer de T(p) à T(z). Vous découvrirez peut-être en mathématiques la transformation dite bilinéaire qui permet de déterminer un filtre numérique à partir de son équivalent analogique.
    Bon courage.
    PS : La méthode que vous évoquez convient toujours.

  3. #3
    GrisBleu

    Re : Curiosité : lien entre transformée de Laplace et la transformée en Z

    Bonjour erff

    Il existe en general deux methodes pour passer de TZ a TL.
    - Celle que tu viens d'expliquer. Ca s appelle la methode par invariance impulsionelle: tu cherches a recreer la meme reponse impulsionelle. Tu echantillonne ton signal, donc perds de l'info (sauf si la bande passante est reduite)
    - Celle que Chrisric a explique. L'idee est de mapper le plan en p et le plan en z. Le probleme se voit vite: l axe frequentiel en p est le cercle en z: si il y a une bijection.
    - la methode precedente revient a boucler la doite sur ce cercle en se repetant tous les 2 Pi. Tu as des aliasing du a l echantillonnage
    - la methode de chrisric est de choisir une transformation qui va ecraser les grand iw de maniere a faire une bijection de iw vers |z|=1

    Une bonne reference: Discrete time signal processing de Oppenheim

    ++

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