application de matrice

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour cet exercice car je ne vois pas comment partir:
Mn(R)-->Mn(R)
A-->^tA-A

j'ai essayé de cherché un polynôme annulateur mais sans succès

merci de votre aide
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[inviteea028771]

Quelle est la question?

[invite371ae0af]

désolé j'ai oublié:
si j'appelle f l'application: est-elle diagonalisable?

[invited5b2473a]

Quelles seraient les valeurs propres possibles?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

je ne vois pas comment les deviner comme cela
je les ai toujours calculées

[inviteea028771]

Bah il suffit de résoudre :





De là on trouve que les seules valeurs propres candidates sont 0 et -2.

Les vecteurs propres associés à la valeur propre 0 sont les matrices symétriques
Les vecteurs propres associés à la valeur propre -2 sont les matrices antisymétriques et nulles sur la diagonale.

Donc...

[invite371ae0af]

d'accord merci

[invited5b2473a]

Bah il suffit de résoudre :





Donc

De là on trouve que les seules valeurs propres candidates sont 0 et -2.

Les vecteurs propres associés à la valeur propre 0 sont les matrices symétriques
Les vecteurs propres associés à la valeur propre -2 sont les matrices antisymétriques et nulles sur la diagonale.

Donc...

...Donc tu considères une base de Mn(R) constituées de matrices sym (tu en as n(n-1)/2) et de matrices antisym et nullle sur la diagonale (tu en as n(n-1)/2).