Salut à tous,
Dans le cadre du cours de la théorie de la mesure et d'intégration, chapitre sur les fonctions intégrables, on a énonce le Théorème de Radon-Nikodym juste après avoir définie la continuité absolue d'une mesure par rapport à une autre.
J'ai trouvé plusieurs versions de ce théorème et démonstrations sur internet, pouvez-vous me conseillez la "bonne" ?
Merci.
Bonjour.
La question n'est pas claire. D'une part, je ne connais grosso modo qu'une seule version du théorème, qui affirme qu'une mesure absolument continue par rapport à une autre possède une densité, à condition que les mesures soient-finies. Des fois, tu le trouveras combiné avec la décomposition de Lebesgue.
Quant à savoir quelle est la "bonne" preuve, ça n'a aucun sens. Soit une preuve est correcte, soit elle ne l'est pas, mais à partir du moment où il en existe plusieurs (et c'est le cas du théorème de R-N), difficile de les classer de façon objective.
Ca dépend d'autres paramètres : les prérequis, l'idée qu'on souhaite développer, ...
La preuve la plus courante du théorème de R-N, c'est celle due à Von Neumann, car elle a l'avantage de démontrer le théorème de R-N et la décomposition de Lebesgue en même temps.
Elle utilise des techniques d'analyse hilbertienne. (représentation de Riesz des formes linéaires sur un espace
