intégrale à calculer

[invite456e4bc5]

On considère les fonctions:



Le produit de convolution de f_1 par f_2 est:

On pose: ,


, en posant


quelqu'un a-t-il une idée pour calculer cette dernière intégrale, qui est bien convergente (voir résultat graphique figure suivante)

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[mc222]

Salut, je crois que j'ai trouvé un changement de variable intéressant :



L'intégrale devient donc:



A verifier mais je crois que c'est bon. La fonction étant paire, je peut la généraliser à tout R et diviser par 2.

Ensuite, je pense qu'avec la méthode des résidus, ça doit pouvoir s'intégrer sans problème. Encore qu'avec le pôle d'ordre 2 en 0, il va falloire dériver l'exponentielle

[mc222]

à nan, y'au une singularité essentielle dans l'exponentielle ! mauvaise idée enfait...

[invite456e4bc5]

merci,
mais en effet, ça ne permet pas d'obtenir une solution . . . à suivre donc s'il y a d'autres propositions

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63e767fa]

Bonjour,

l'intégrale que tu cherches à calculer s'exprime avec une fonction de Bessel modifiée de seconde espèce.
Je lui ai réglé son sort d'une façon un peu détournée, en passant par une fonction spéciale que je connais bien (Parabolic Cylinder Function), mais il y a surement moyen d'y arriver plus directement.
Voir la page jointe.

[invite456e4bc5]

salut,
merci pour cette solution, détournée mais qui me paraît assez élégante après tout , je vais faire une petite vérification avant de valider,
sinon j'avais envisagé comme autre piste le développement en série de l'exponentielle puis la permutation de la somme et de l'intégrale, ...!?

[invite63e767fa]

salut,
sinon j'avais envisagé comme autre piste le développement en série de l'exponentielle puis la permutation de la somme et de l'intégrale, ...!?

Cela me parrait douteux, pour des questions de convergence de séries. Il faudrait probablement séparer en deux séries, qui soient chacune convergente aux bornes d'intégraton. Cela risque d'être ardu (mais pas impossible théoriquement).
Remarque : Dans ton premier post, l'intégrale initiale g(x) est directement calculable avec la méthode que j'ai indiquée (et cela éviterait la plupart des changements de variables et transformations intermédiaires).