Intégrale à calculer.

[invite60c04c44]

Bonjour

Je dois calculer l'intégrale suivante :

Intégrale de 0 à Pi de ln(1-2xcos(t)+x²)dt

avec x strict. supérieur à 1.

Je pense qu'il faut utiliser les sommes de Riemann, mais je ne sais pas comment m'y prendre.

Merci d'avance
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[invite899aa2b3]

Salut.
En effet on peut utiliser les sommes de Riemann.
Il faut penser à la factorisation du polynôme .

[invite60c04c44]

Merci pour le conseil, je vais essayer tout de suite.
Mais le X correspond à quoi ici?

[invite9a322bed]

Cette intégrale est connue sous le nom de Poisson.

Utilise la formule d'Euler sur le cosinus en complexes. Essaye de factoriser ce polynôme sous forme de deux produits de polynômes..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a322bed]

Voici une réponse que j'ai déjà eu ! J'avais vraiment bloqué sur cette intégrale aussi

http://forums.futura-sciences.com/ma...integrale.html

[invitebe08d051]

Bonjour

A mes connaissance, cette intégrale nommée intégrale de Poisson est une intégrale dépendant d'un paramètre qu'on ne peut pas calculer explicitement...
De plus, il y a bon nombres de problèmes (niveau sup/spé) qui traitent cette intégrale, je doute fort que ce calcul soit possible ( sinon au bonheur des candidats ) .

De ma part, tout ce que je ramarque c'est la factorisation ....

[invite60c04c44]

on a alors 2 integrales :

de 0 à Pi de ln(x-e^it)) et celle de o à Pi de ln(x-e^-it)

Et donc je pense que c'est à ce moment qu'il faut utiliser riemann, mais comment?

[invite63e767fa]

Bonjour,

si on cherchait une primitive (relativement à t) de ln(1-2x.cos(t)+x²) , ce serait très compliqué car des fonctions spéciales interviendraient.
Par contre, la dérivée par rapport à x, c'est à dire (-2cos(t)+2x)/(1-2x.cos(t)+x²) est intégrable relativement à t et s'exprime avec des fonctions usuelles.
C'est donc une méthode pour répondre à la question posée.
La démonstration donnée en page jointe montre que l'intégrale définie entre 0 et pi est nulle.