polynôme et valeurs propres

[invite371ae0af]

bonjour

j'aurai besoin sur 2 questions:

P dans Cn[X]
f(P(x))=(X²-1)P'(X)-(nX+1)P(X)
n>=1. On se propose de déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f. Soit P un vecteur propre de f
a) soit a un zéro de P. Montrer que a=1 ou a=-1
b)en déduire les vecteurs de f et les valeurs propres de f

pour la a):
(a²-1)P'(a)=0 donc comme P'(a) non nul, a²-1=0 d'ou a=1 ou -1

mais pour la b) je n'y arrive pas

merci de votre aide
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[inviteea028771]

Pourquoi aurait-on nécessairement P'(a) non nul? Ça ne me semble pas complétement évident qu'un vecteur propre de f n'ai pas de racine multiple.

[invite371ae0af]

en faites en faisant une décomposition en élément simple je trouve a=1 et a=-1
mais pour la b) je ne vois pas

[invite57a1e779]

Je suis comme Tryss, je ne vois pas pourquoi on aurait P'(a) non nul, ... mais pour la b), du fait que l'on connaît les racines éventuelles de P, cela signifie que les vecteurs propres sont de la forme :
P = k(X-1)^p(X+1)^q
avec k, p et q à déterminer en fonction de la valeur propre associée à P.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

d'accord merci