valeurs propres et vecteurs propres complexes

[invite92876ef2]

Bonjour à tous.

J'ai un soucis de résolution d'un problème, où on doit trouver les valeurs et vecteurs propres d'une matrice. C'est la suivante, notée H, matrice 2*2 :

r*exp(ia) s
s r*exp(-ia)

r, a, s, réels et s>0. On s'intéresse aux valeurs propres réelles
e+- = r cos(a) +- racine (s²-r²cos²a). (s²>r²cos²a)
On pose sin b = (r/s)sin a.
=> e+- = r cos(a) +- s cos b.

Trouver les vecteurs propres correspondants |e+> et |e-> !

Corrigé :

|e+> = C+ * Matrice colonne [exp(+ib/2) exp(-ib/2)]
|e-> = C- * Matrice colonne [exp(-ib/2) -exp(+ib/2)]

... Comment... Quoi ? Où ?... Moi, j'ai posé
H|e+> = e+|e+>.
Je me suis retrouvé avec des calculs de ouf !... Est-ce que le corrigé a posé un truc particulier, ou pas ?

Merci de m'aider !!!
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[invite92876ef2]

Il faut poser |e+>=[z z']
z=a+ib
z'=c+id
On remplace direct dans les équations, on égalise parties réelles et imaginaires, on a 4 équations à 4 inconnues.
Remarquer des "symétries" et/ou "anti-symétries" entre (a et c) et (b et d), ce qui simplifie énormément le travail.
Remplacer dans deux des équations, et obtenir deux relations entre a et b. Les multiplier, et les mettre sous la racine. Se débrouiller ensuite pour avoir une constant devant les z et z', de telle manière à faire ressortir un exp (+- i b/2)...
Voilà !!

J'aurais cherché ce truc bête 4 heures quand même... Ah la la... On est tellement nuls à la fac, pas vrai les gens de l'ENS/école d'ingénieur ? lol