valeurs propres et vecteurs propres

[invite645da9a4]

Bonjour,
J'ai un grand problème! Je n'arrive pas à calculer les valeurs propres des matrices sachant que je maitrise bien la méthode...! Le problème est que je trouve tout le temps un vecteur propre nul ce qui n'est pas normal! Je dois avoir loupé une étape.
Voici la méthode que j'utilise:
Pour une matrice carré qqconque, je trouve le polynome caractéristique qui me donne les racines qui sont les valeurs propres! Ensuite je résout les systèmes pour trouver les vecteurs propres liés à chaque valeur propre! voilà!
Merci pour votre!


P.S: S que qq1 peut me donner un exemple concret! Merci
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[Jeanpaul]

Effectivement pas normal de trouver des vecteurs propres nuls !
Prends un exemple simple, la matrice 2x2 avec des 1 partout. Déjà elle est singulière donc on sait que 0 sera valeur propre et, de fait, l'équation aux valeurs propres est (1-x)² - 1 = 0 donc x= 0 ou x=2
Prenons x=0, les vecteurs propres ont pour composantes x et y et les 2 lignes donnent :
x + y = 0
x + y = 0
elles sont identiques, on va donc se contenter de la 1ère et dire que x=-y donc par exemple le vecteur (1 ; -1)
Pour la seconde valeur propre, ça devient :
(1-2) x + y = 0
x + (1-2) y = 0
et on voit bien que x=y donc le vecteur (1 ; 1) fera l'affaire.

[invite645da9a4]

Oui pour les matrices carrées d'ordre 2 et 3 je n ai pas de problème! Je pense que je me trompe en calculant le determinant de (A- xI)!
En fait, je cherche A-xI puis je l'échelonne puis je calcule son determinant, qui est égale à 0! Ensuite je trouve les racines! Mais c'est là que ça cloche!
:s:s:s

[sylvainc2]

Pour trouver les valeurs propres, tu dois résoudre det( (A - xI) ) = 0, c.à.d. trouver les racines du poly caractéristique. D'accord ca tu sembles savoir le faire.

Mais je ne comprends pas ce que tu fais pour trouver les vecteurs propres. Pour chaque valeur propre k, tu dois résoudre Av = kv, donc (A-kI)v = 0, c.à.d. trouver le noyau de la matrice (A-kI). Pour ca, on ne calcule pas de déterminant. Le plus simple est de la transformer sous forme échelon réduite.

Il faudrait que tu nous dises en détail ce que tu fais.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite645da9a4]

Je vous donne un exemple! Pour celui-ci la méthode que j'utilise marche! J'ai une matrice carré d'ordre 2!!!

soit A= 1 1
0 2

le polynome caractéristique est:
P(λ)= det( A-λI)= 0

A-λI= 1-λ 1
0 2-λ

det= (1-λ) (2-λ)
donc les racines sont 1et 2, les valeurs propres de la matrice A.
Pour λ=1
la matrice devient 0 1
0 1

on résout une équation vu que les deux se ressemblent ( évident)
on aura donc que x2=0!
rang(A)=1 et dim(A)=1 donc on doit trouver un vecteur propre pour la valeur propre 1.
x1=1
donc le vecteur propre est (1,0)
V1= { λ1( 1,0) / λ1 appartient à R}


pour λ=2 et apres avoir utilisé la meme méthode on aura
V2={ λ2( -1,-1)/ λ2 appartient à R}


Voilàà! En fait c'est vraiment la seule méthode qu'on a eu en cours dans je n'en connais pas d'autres :s

Merci pour votre aide

[invite645da9a4]

Oups! Dsl je n ai pas vu que les lignes de "mes matrices" étaient décalées!! dssl